Презентация по математике на тему Решение уравнения в целых числах

Решение уравнений в целых числах Мирошниченко Н.Е.учитель математики МАУ ШИЛИГ. Калининград 1.Метод прямого перебора Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг?Решение:Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг. Составим уравнение: 3х + 8у=30Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числомЕсли х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числомЕсли х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числомЕсли х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числомЕсли х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числомЕсли х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числомЕсли х = 8, то 8·3+8>30 , Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.  2.Использование неравенств Решите в натуральных числах уравнение 3x + 6y = 21.Решение. Для уменьшения перебора вариантоврассмотрим неравенства Проведем перебор по неизвестной у.Если y = 1, то x = 5 Если y = 2, то x = 3 Если y = 3, то x = 1.Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3). 3.Использование отношения делимости Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300.Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1, 3y −1 = 13(23 − x − y).Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13.Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом.Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом.Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12.Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом.Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числомЕсли 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300.Ответ: (12;9) 4. Выделение целой части Решить уравнение 8x + 5y = 39 . Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть:Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5.Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом.Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3.Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом.Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом.Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39.Ответ: (3; 3). 5. Метод остатков Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах.Решение. Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3.2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3.3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, x = 4m + 3.Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z. 6. Метод «спуска» Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3.Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при которомменьше по модулю: Дробь должна быть равна целому числу. Положим , где z – целое число. Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим тонеизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования: Дробь должна быть целым числом. Обозначим ,где t– целое число. Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся кнеизвестным х и у:y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9,x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12. Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число 7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10Решение. Коэффициенты при переменных х и у – взаимно простые числа и свободный член - целое число. Коэффициент при х больше коэффициента при у.Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемыхтак, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим: 20х + 3у = 10 (18 +2) х +3у=10 18х +2х+3у=10 3(6х+у)+2х=10 Обозначим выражение 6х + у = k. (1) Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х.Проведем аналогичные преобразования с полученным уравнением: (2 + 1) k + 2 x =10 2(k + x) + k =10Обозначим выражение k + х = n (2). Получим уравнение 2 n + k =10 k = 10 – 2n Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n: 10 – 2n +x = n x = 3n – 10 Мы получили одну из формул решений уравнения 20x – 3y = 10 Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо хвыражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n: 6(3n – 10)+y = 10 – 20n y = 70 – 20nФормулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленныерешения уравнения 8 . Использование формул Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами: , гдеДоказательство: Пусть пара - какое-нибудьцелочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е. . Сделаем замену переменных:Тогда в новых переменных уравнение примет вид: . Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если Тогда получим Возвращаясь к старым переменным,получаем, что 8 . Использование формул Найти целочисленные решения уравнения 13х = 6у - 19Решение. Найдем одно целочисленное решениеуравнения: , и выполним преобразованияОтвет: 9. Использование конечных цепных дробей Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0Решение. Преобразуем отношение коэффициентов принеизвестных. Прежде всего, выделим целую частьнеправильной дроби . Правильную дробь заменим равной ей дробью Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью   Теперь исходная дробь примет вид: . Повторяя те же рассуждения для дроби получим . Выделяя целую часть неправильной дроби , придем к окончательномурезультату: Мы получили выражение, которое называется конечнойцепной или непрерывной дробью.Отбросив последнее звено этой цепной дроби –однупятую, превратим получающуюся при этом новуюцепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби : . Итак, Приведем полученное выражение к общему знаменателю иотбросив знаменатель, получим: Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решениемэтого уравнения, и согласно теореме все его решения будутсодержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z.Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.  НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки Решить уравнение : хІ + 2ху = 4х + 7Решение: хІ + 2ху - 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7Составим четыре системы уравнений: решив которые, получим Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5) б) применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения (m + n)(m - n) = 33т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений: Ответ: (17; 16), (7; 4), в) способ группировки. Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16. Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10 х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10 (х + 3)(у – 2) = 10получаем восемь систем уравнений:Решив полученные системы уравнений, получим:Решив полученные системы уравнений, получаем:Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0). Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8),(-5; -3), (-8; 0) г) разложение квадратного трехчлена Решить уравнение в целых числах : хІ - 5ху+4уІ=13Решение: Решив уравнение хІ - 5ху+4уІ=0относительно переменной х , получим .Теперь можно разложить левую часть уравнения намножители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13 13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1)Составим четыре системы уравнений:Решив полученные системы уравнений, получим ответ:Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4) д) использование параметра Решите уравнение 2xІ− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах.Решение. Перепишем уравнение в виде 2xІ − (2y − 9)x + y − 2 + a = a и разложим левую часть уравнения на множителикак квадратный трехчлен относительно х. Находимдискриминант D = 4yІ − 44y + 97 −8a. Очевидно,если 97 −8a =121, то дискриминант будет полнымквадратом. При этом a = −3 и Отсюда . Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3.-3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1 Из этого уравнения получим следующие системыуравнений: Решив эти системы, получим: Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3). 2. Метод решения относительно одной переменной Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0Решение: 3xy+17y=-14x - 71 ; y(3x+17)=-14x-71 , где 3х + 17≠0 Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число,следовательно, дробь также целое число,и значит 25делится на (3х+17). Получаем:3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -33x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -53x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5) Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2xІ-2xy+9x+y = 2Решение. Выразим у через х и выделим целую часть: 2xy-y = 2xІ +9x - 2 y (2x-1)=2xІ + 9x- 2Т.к. у должно быть целым числом, то дробь также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1). Получаем: если 2x - 1=1, то x = 1, y = 9 если 2x - 1=-1, то x = 0, y = 2 если 2x - 1= 3, то x=2, y = 8 если 2x - 1 = -3, то x = -1, y = 3Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3) Использование дискриминанта (неотрицательность) Решите уравнение 3(xІ + xy + yІ ) = x + 8y в целых числах.Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратноеотносительно х: 3xІ + (3y −1)x + 3yІ −8y = 0.Найдем дискриминант уравнения D = −27yІ + 90y +1. Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е. − 27yІ + 90y +1≥ 0.Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая этизначения, получим, что исходное уравнение в целыхчислах имеет решения (0;0) и (1;1).Ответ: (0;0); (1;1). Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение xІ − xy + yІ = x + y в целых числах.Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: xІ − ( y +1)x + yІ − y = 0.Его дискриминант D = −3yІ + 6y +1 = tІ должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение 3yІ − 6y −1+ tІ = 0; 3( y −1)І + tІ = 4. Из последнего уравнения следует, что tІ ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2.1) Если t І = 0, то уравнение 3(y −1)І = 4 не имеет целого решения у. 2) Если t І =1, то уравнение 3(y −1)І = 3 имеетцелые решения При y = 2 получаем квадратное уравнение xІ − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 . При y = 0 получаем квадратное уравнение xІ − x = 0 с корнями x = 0 или x =1.3) Если t І = 4, то уравнение 3( y −1)І = 0 имеет одно целое решение y =1. При y =1 получаем квадратное уравнение xІ − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 .Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1) 3. Метод оценки Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах : xІ+6xy+13yІ = 40.Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат относительно переменной х: xІ+6xy+9yІ+4yІ = 40; (x+3y)І+4yІ = 40.Откуда получаем что(2y)І ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3Перебирая значения у, получим системы: Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)  Метод «спуска» ● Решите уравнение 2xІ − 5yІ = 7 в целых числах.Решение. Так как 2xІ - четное число, а 7 - нечетное, то5yІ должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можнопереписать в виде xІ −10zІ −10z = 6. Отсюда видно, что х должно быть четным. Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид 2mІ − 5z(z +1) = 3, что невозможно, так как число z(z +1) - четно, аразность двух четных чисел не может быть равнанечетному числу. Таким образом, данное уравнение неимеет решений в целых числах.Ответ: нет решений