Презентация по геометрии Решение задач повышенного уровня сложности по теме Окружность на ГИА

Решение задач повышенного уровня сложности по теме «Окружность» на ГИА.Учитель математики МБОУ «Гимназия №2»Г. КурчатоваКурской областиТатариноваЛюдмила Николаевна. Цель занятий: Совершенствование умения решать геометрические задачи. Подготовка к ГИА. Развитие интереса к изучению геометрии.Умение решать задачи… Искусство решать задачи… От чего оно зависит? Каждый из вас изучал много определений, аксиом, теорем о свойствах и признаках различных геометрических фигур. Так какие из них нужно отыскать в памяти при решении конкретной задачи? Какие действия следует выполнить, чтобы задача была решена? Сложность геометрических задач в том и состоит, что нет четких алгоритмов их решения. Кроме того, многие задачи могут быть решены разными способами. Если вы хотите научиться решать геометрические задачи, то прежде всего необходимо систематизировать и обобщить знания по этому предмету. И только после большого количества самостоятельно решенных задач можно говорить о начале приобретения собственного опыта и формировании геометрической интуиции. Необходимо научиться именно решать задачи, а не запоминать их решение.Известны такие высказывания : «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» Д. Пойа.«Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового возможно. Где есть желание, найдётся путь!» Д. Пойа В известной книге Дьёрдь По́йа «Как решать задачу» автор предлагает следующий план решения задач:Нужно ясно понять задачу. Что дано? Что неизвестно? В чем состоит условие? Сделайте чертеж. Введите необходимые обозначения.Составьте план решения. Подумайте все ли данные вами использованы? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?Осуществите план решения, контролируя каждый шаг, обосновывая каждый шаг, ссылаясь на известные определения, аксиомы, теоремы.Взгляд назад. Нужно изучить найденное решение. Можно дополнительно дать еще такие советы.1).Пусть при решении задачи вы пришли к необходимости нахождения длины отрезка. Следует подумать о том, чем может быть этот отрезок в других фигурах: медианой, биссектрисой, высотой, хордой, радиусом и так далее. 2).Если при решении задачи вы используете треугольник, то следует попытаться выяснить, не является ли он прямоугольным, равнобедренным или равносторонним. На сегодняшнем занятии мы будем решать задачи типа №26 ГИА, взятые из банка задач ГИА на сайте ФИПИ или в диагностических работах системы «СтатГрад».Четких алгоритмов решения этих задач нет, но в некоторых задачах рассматривается повторяющаяся конфигурация. В процессе решения мы заодно будем повторять школьный курс планиметрии.Прочитав текст задачи, мы проанализируем ее и вспомним встретившиеся в условии понятия, свойства и признаки, которые будут использованы при решении данной задачи, а затем приступим к решению. Очень полезно составлять план решения. Следует проследить за цепочкой рассуждений, которая может привести к успеху. Итак, наша первая задача:№ 1.  Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC равна 3 и яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.Прежде, чем приступать к решению задачи, вспомним определения, свойства и признаки, которые нам понадобятся. Обзор теоретического материала по тексту задачи:1) Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны.2) Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. 3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.4) Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник является равнобедренным, а медиана проведена к основанию. Определение: Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника.Исходя из данных определений получаем, что все вершины вписанного треугольника равноудалены от центра окружности.∙  № 1. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC равна 3 и яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Анализ условия. Зададим себе вопросы: 1.Сколько окружностей в условии задачи? Нужно ли изображать вторую окружность? 2.Где находится центр искомой окружности? 3. Как можно использовать данную медиану и середину стороны ВС? Нужны ли дополнительные построения? Известно, что центр окружности, описанной около треугольника есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Значит эти перпендикуляры проходят через точки М и К... Нужно ли их строить? Центр искомой окружности должен быть равноудален от вершин А, В, С. Есть ли на нашем чертеже такая точка? АВОМКС № 1. Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC равна 3 и яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в её се­ре­ди­не. Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Ре­ше­ние. Проведем дополнительное построение: отрезок МК.∟ВКМ – вписанный, опирающийся на диаметр ВМ, а значит он равен 90о .( Известно, что вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой). В ∆ ВМС МК медиана , так как точка К середина ВС по условию, и высота , так как ∟ВКМ =90о  => ∆ ВМС равнобедренный(по признаку) => ВМ=МС, но МС = МА (ВМ – медиана).Значит МС = ВМ = МА = 3. Т.к. точка М оказалась равноудаленной от всех вершин ∆ АВС, то она является центром описанной около ∆ АВС окружности. Тогда АС = 6 и есть искомый диаметр. Ответ: 6.  АВОМКС Итак, взгляд назад. Повторим этапы решения задачи №1.1) Угол ВКМ – прямой.2)∆ ВМС равнобедренный.3) МС = МВ = МА . М – центр окружности, АС = 6 диаметр.АВСМК  № 2. Три окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 2, 3 и 10, по­пар­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры этих трёх окруж­но­стей.Обзор теоретического материала, необходимого при решении этой задачи.Проанализируем условие задачи и вспомним необходимые для ее решения свойства и признаки.Внешнее касание окружностей. 1. Точки А, В, С лежат на одной прямой.2. АС = R + r.АВСRr Теорема, обратная теореме Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Прямой угол лежит против большей стороны.Если а2 + 𝑏2= с2, то <С = 90 0 .Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:r =𝑎+𝑏−𝑐2. аbсАВС Вписанная в произвольный треугольник окружность S = 12 P r = 12 (a + b + c)r r = 2 𝑆𝑎+𝑏+𝑐  abc № 2. Три окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 2, 3 и 10, по­пар­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры этих трёх окруж­но­стей.Анализируем условие.В нашей задаче есть треугольник, у которого легко определяются все стороны. Проверим не является ли он прямоугольным. Если он прямоугольный, то есть специальная формула для вычисления радиуса вписанной окружности. r = 𝒂+𝒃−𝒄𝟐. Но можно использовать более общую формулу для произвольного треугольника(мы вспомнили ее ранее). АВСМКР10223310 № 2. Три окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 2, 3 и 10, по­пар­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся цен­тры этих трёх окруж­но­стей.Решение: Т.к. окружности касаются внешним образом, то АВ = АМ + МВ = 10 + 2 = 12Аналогично ВС = 2+3=5, АС=10+3=13.122 + 52 = 132, 144+25=169. По теореме, обратной теореме Пифагора, ∆ АВС прямоугольный.Т.к. искомая окружность вписана в ∆ АВС , то для неё справедливо r = 2 𝑆𝑎+𝑏+𝑐 . Вычислите  r  самостоятельно.S=12 ab=12 *12*5=30𝐫=30 ∗212+5+13=2.Ответ: 2. АВСМКР10223310
Итак, повторим план решения задачи:1.Найти длины сторон треугольника.2.Всегда полезно проверить не является ли треугольник прямоугольным(равнобедренным, равносторонним).Проверим по теореме, обратной теореме Пифагора.Если а2 + 𝑏2= с2, то <С = 90 0 .3.Найти площадь треугольника.4. Найти радиус вписанной окружности по формуле S = 12 P r = 12 (a + b + c)r; r = 2 𝑆𝑎+𝑏+𝑐  или r = 𝑎+𝑏−𝑐2(для любого треугольника) (для прямоугольного треугольника) АВСсba № 3. Окруж­ность ра­ди­у­са 4 ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом вто­рой окруж­но­сти в точке  М. Общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям, про­хо­дя­щая через точку  М, пе­ре­се­ка­ет­ся с не­ко­то­рой дру­гой их общей ка­са­тель­ной в точке N  . Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если  MN = 6 .Проанализируем условие задачи.Хотелось бы, чтобы данный отрезокВходил в какой-либо треугольник. Хорошо бы иметь прямоугольный или равнобедренный треугольник.1.∆ЕNО – прямоугольный.2. NМ – высота, проведенная из вершины прямого угла.Почему? ВЕМNOA6 № 3. Окруж­ность ра­ди­у­са 4 ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом вто­рой окруж­но­сти в точке  М. Общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям, про­хо­дя­щая через точку  М, пе­ре­се­ка­ет­ся с не­ко­то­рой дру­гой их общей ка­са­тель­ной в точке N  . Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если  MN = 6 .Обзор теоретического материала.Внешнее касание:1.Три общие касательные: MN, AB, m.2. Радиусы , проведенные в точку касания перпендикулярны касательной.3. MN перпендикулярна ОЕ.4. Изображая касательные, не забывайте Отмечать прямые углы и равные отрезки.5. AN = NB = NM по свойству отрезков касательных.АВNMOEm Биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. ∠1+ ∠2+∠3+∠4= 1800;∠1= ∠2;      ∠3= ∠4;∠1+ ∠3=900  1234 Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла. АО – биссектриса угла ВАС.АВ и АС касательные к окружности.Отрезки касательных из одной точкиК одной окружности равны.АВ = АС.ОВАС Высота, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу. a h  = h b ; h2 =а b hba № 3. Окруж­ность ра­ди­у­са 4 ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом вто­рой окруж­но­сти в точке  М. Общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям, про­хо­дя­щая через точку  М, пе­ре­се­ка­ет­ся с не­ко­то­рой дру­гой их общей ка­са­тель­ной в точке N  . Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если  MN = 6 .Решение: 1. NE и NО – биссектрисы угловВNМ и АNМ, которые являются смежными. ВNМ + АNМ = 1800. Но тогда ЕNМ + М NА= 12 * 180 = 900. Значит Угол Е NО – прямой. А треугольник ЕNО – прямоугольный. Искомый радиус являетсяЧастью гипотенузы между основанием высотыМ и вершиной Е.(Этот треугольник вы рассмотрите самостоятельно и выполните необходимые вычисления). ВЕМNOA46 Высота, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу. 46 = 6х ; 4х = 36;Х = 9.Ответ: 9. NОМЕ64х
№ 3. Окруж­ность ра­ди­у­са 4 ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом вто­рой окруж­но­сти в точке  М. Общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям, про­хо­дя­щая через точку  М, пе­ре­се­ка­ет­ся с не­ко­то­рой дру­гой их общей ка­са­тель­ной в точке N  . Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если  MN = 6 .Повторим план решения задачи.1.∆ЕNО – прямоугольный.2. NМ – высота, проведенная из вершины прямого угла.Свойство: ОМNМ = N ММЕ .3. Решение пропорции. ВЕМNOA Спасибо за внимание! В презентации использованы материалы сайта ФИПИ:http://opengia.ru/subjects/mathematics-9/topics/7. источник шаблона: сайт http://pedsovet.su