: Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых.

  Выполнила:Катаева Сагира Насибулловна учитель математики Западно – Қазахстанская областьУральск 2014 г. ГККП «Музыкальный колледж имени Курмангазы» Цели урока: : Развивающие: создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету; развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся; развивать навыки самоконтроля; развивать активность учащихся,                       формировать учебно-познавательные действия, коммуникативные, исследовательские навыки учащихся, умение анализировать и устанавливать связь между элементами темы.Воспитывающие: создать условия успешности ученика на уроке; воспитывать культуру умственного труда; способность к самоанализу, рефлексии; развивать умение рецензировать и корректировать ответы товарищей. воспитывать умение критически относиться к результатам деятельности;   обеспечить гуманистический характер Цели обучения; Взаимное расположение двух прямых на плоскости : Определение: Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися   Определение.Если прямые имеют одну общую точку и лежат в одной плоскостей, то они пересекаются. Определение:Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекются Параллельные прямые в пространстве Задача (3). Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.Решение. Так как данные прямые ɑ и Ь параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 323). Обозначим ее . Прямая с, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью две общие точки — точки пересечения с данными прямыми. По теореме 15.2 эта прямая лежит в плоскости . Итак, все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости — плоскости . Параллельные прямые в пространстве 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.Замечание. Утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.Доказательство. Пусть ɑ — данная прямая и А — точка, не лежащая на этой прямой (рис. 324). Проведем через прямую ɑ и точку А плоскость . Проведем через точку А в плоскости прямую ɑ1, параллельную ɑ. Докажем, что прямая ɑ1, параллельная ɑ, единственна.Допустим, что существует другая прямая ɑ?, проходящая через Рис. 324    точку А и параллельная прямой ɑ.Через прямые ɑ и ɑ2можно провести плоскость ɑ2- Плоскость проходит через прямую ɑ и точку А-, следовательно, по теореме 15.1 она совпадает с ɑ. Теперь по аксиоме параллельных прямые ɑ1 и ɑ2совпадают. Теорема доказана. Признак параллельность прямых Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.Доказательство. Пусть прямые Ь и с параллельны прямой ɑ. Докажем, что прямые Ь и с параллельны.Случай, когда прямые ɑ, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть — плоскость, в которой лежат прямые ɑ и Ь, а у — плоскость, в которой лежат прямые ɑ и с. Плоскости и различны. Отметим на прямой Ь какую-нибудь точку В и проведем плоскость через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость по прямой Ь1.Прямая b1 не пересекает плоскость. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой ɑ, так как прямая Ь1 лежит в плоскости С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости -Но прямые ɑ и с как параллельные не пересекаются.Так как прямая Ь1 лежит в плоскости и не пересекает прямую ɑ, то она параллельна ɑ, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадая с прямой Ь1, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости) и не пересекает ее. Значит, прямые Ь и с параллельны. Теорема доказана. Признак параллельности прямой и плоскости Задача (11). Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).Решение. Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (рис. 326). Пусть А1, В1, С1, D1 — середины его сторон. Тогда А 1 В1 — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC, C 1D1—средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС. По теореме 16.2 прямые А 1В 1 и C 1D 1, параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых A 1D1 и В 1С 1. Итак, четырехугольник А 1В 1 C 1D 1 лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.138. Признак параллельности прямой плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются Параллельность прямой и плоскости. Теорема 16.3. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.Доказательство. Пусть α — плоскость, ɑ — не лежащая в ней прямая и ɑ 1 — прямая в плоскости α, параллельная прямой ɑ. Проведем плоскость α1 через прямые ɑ и ɑ1Плоскости α и α1 пересекаются по прямой ɑ 1. Если бы прямая ɑ пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой ɑ1. Но это невозможно, так как прямые ɑ и ɑ1 параллельны.Итак, прямая ɑ не пересекает плоскость α, а значит, параллельнаплоскости α. Теорема доказана.     Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей Две плоскости называютсяпараллельными, если они не пересекаются.Теорема 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.Доказательство. Пусть α и β данные плоскости, ɑ2 и ɑ1 — прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке А, Ь1 и Ь2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β.   Допустим, что плоскости α и β не параллельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые ɑ2 и ɑ1 , как параллельные прямым Ь1 и Ь2 » параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку А проходят две прямые (ɑ2 и ɑ1), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Признак параллельности плоскостей №6Дано куб АВСD А 1В 1С 1D1. А)Укажите параллельные ребры куба.Сколько параллельных ребер с одним ребром ? Б) Укажите скрещиваюшиеся ребры. Сколько скрещивающихся ребер с одним ребром. Признак параллельности прямой и плоскости №5.Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А 1 ,В 1 , М 1 . Найдите длину отрезка М М 1 если : 1) АА 1=3м , ВВ 1=7м,2) АА 1=3,6дм, ВВ 1=4,8дм,3) АА 1=8,3м, ВВ 1 =4,1см,4) АА 1=ɑ, ВВ 1 = b. Признак параллельности прямой и плоскости №6*. Отрезок АВ пересекает плоскость α. Через концы отрезка в его середину М проведены параллельные прямые,пересекающие плоскость α в точках А 1 ,В 1 , М 1 .Найдите длину отрезка М М 1, если АА 1=5,7см , ВВ 1=8,5см.Жауабы.7,1 см Признак параллельности прямой и плоскости. №7. Через конец А отрезка проведена плоскость. Через конец В и точку С этого проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость в точках В 1 и С 1 . Найдите длину отрезка ВВ1 : 1) СС 1=15м , АС:ВС=2:3;2) СС1=8,1см, АВ:АС=11:9 ;3) АВ= 6 см, АС: СС1 =2:5 ;4) АС =ɑ, ВС = b, СС 1=с . №8*. Даны АВСD параллелограм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А 1 ,В 1 ,С 1,D1.Найдите длину отрезка DD1, если: 1) АА 1=2м , ВВ 1=3м, СС1=8м 2) АА 1=4м , ВВ 1=3м, СС1=1м 3) АА 1=ɑ, ВВ 1 =b,СС 1 = с Домашнее задание П. 136, 137,138,139; №7 Основание пирамиды SABCD –квадрат. Точки K,M,N,P,R середины сторон AS, DS,AD,SB,AB . а) KMII BC; б) PR IIMN . Приведите примеры на параллельные прямые в пространстве. Библиография А.В. Погорелов«Геометрия, 7-11», М., Алматы: Рауан, 1997