Презентация – пособие «Преобразование графиков функций »

Презентация – пособие«Преобразование графиков функций » Часть I Учителя Новопокровской ош Глухова Виктора Владимировича Новопокровка 2014 – 2015 уч. год Рассмотрим преобразования графика функции у = f (x) в график функции у = k f ( x + m ) + n . Осознаем роль коэффициента k и слагаемых m и n в данной формуле. График функции у = f (x) является базовым. Повторим для начала все основные графики функций, которые мы изучали в 9 классе Прямая пропорциональность y = k x Например, у = 2х , (прямая, проходящая через начало координат.) График линейной функции y = k x + bНапример, у = 3х – 2 ( прямая, не проходящая через начало координат.) График обратной пропорциональности, функции у = гипербола , не пересекающая оси координат . График квадратичной функции y = x2Парабола, проходящая через начало координат и точки (1;1) и ( -1;1). График кубической функции y = x3Кубическая парабола, проходящая через начало координат и точки (1;1) и ( -1;-1). График функции y = Парабола, существующая только для х ≥ 0 , проходящая через начало координат и точки ( 1; 1 ) и ( 4 ; 2). Теперь повторим материал 8 класса по уравнению прямой y = k∙x + b Как проходит прямая в зависимости от коэффициента k ? Каково положение прямой в зависимости от свободного члена b ? Рассмотрим на конкретных примерах. Если в уравнении y = k x коэффициент k > 0 , то прямая проходит в I и III четвертях. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс – острый ( k = tg α > 0 ) Если в уравнении y = k x коэффициент k < 0 , то прямая проходит в II и IV четвертях. Угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс – тупой . ( k = tg α < 0 ) Если в уравнении y = k x + b b > 0 , то прямая y = k x сдвигается параллельно вверх на b единиц, если b <0 то прямая y = k x сдвигается вниз параллельно на b единиц.В одной системе координат построим графики (по цвету формулы ) а) у = -0,5х б) у = - 0,5х + 5в) у = -0,5х – 4 г) у = -0,5х – 8 Рассмотрим, какова роль свободного члена b в формуле прямой у = kx + bпостроим графики в одной системе координат а) у = 0,3х + 3 ; б) у = 2х + 3 ; в) у = - 4х + 3 Все эти графики пересекают ось ординат в точке ( 0 ; 3 ) Мы всё ближе к осознанию преобразования графика функции у = f (x) в график функции у = k f ( x + m ) + n Рассмотрим поэтапно преобразования:а) f (x) и f (x) + nб) f (x) и f ( x + m)в) f (x) и k f (x) г) f (x) и k f ( x + m ) + n Первое преобразование у = f (x) в у = f (x) + nПостроим в одной системе координат графики следующих функций а) у = х2 ; б) у = х2 + 3;в) у = х2 – 4 ; г) у = х2 – 9 Вывод: если n > 0 , то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вверх на n единиц, если n < 0, то парабола y = x2 сдвигается вниз на n единиц. Рассмотрим преобразование, которое мы не могли наблюдать с графиками прямых. Общий вид преобразования у = f (x) и у = f ( x + m). Теперь число прибавляется не к функции, как в предыдущем примере, а к аргументу. Что же мы ожидаем увидеть?Что если m > 0 , то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вдоль оси абсцисс влево на m единиц, если m <0 то парабола y = x2 сдвигается параллельным переносом вдоль оси абсцисс вправо на m единиц.То есть если m положительное число, то сдвиг происходит вдоль оси абсцисс , но в отрицательном направлении и , наоборот, если m отрицательное число, то сдвиг происходит вдоль оси абсцисс , но в положительном направлении Для того, чтобы увидеть параллельный перенос – сдвиг вдоль оси абсцисс нам достаточно построить в одной системе координат графики следующих функций 1. у = х2 ; 2. у =( х + 2)2;3. у =( х – 3)2 ; 4. у =( х – 5)2 Теперь рассмотрим преобразование у = f (x) и у = k f (x). Оценим роль коэффициента k. Оценивать будем по двум моментам. а) k - положительный или отрицательный коэффициент. б) k - больше или меньше единицы. Рассмотрим преобразование, когда у = f (x) переходит в у = k f (x), где k - отрицательный коэффициент. Наблюдаем симметричное отображение относительно оси абсцисс графика у = х2 в график у = - х2 , а у = 3х2 в график у = - 3х2 Рассмотрим преобразование, когда у = f (x) переходит в у = k f (x), где k - положительный коэффициент. Наблюдаем, что, график функции у = k х2 получается из графика у = х2 с помощью сжатия его в k раз к оси ординат ( Оу), если k >1 , или с помощью растяженя в k раз к оси ординат ( Оу) , если 0 < k < 1. Строим графики : у = х2 ; у = 2 х2 ; у = 3х2 ; у = 0,2 х2 Для обобщения преобразование у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n рассмотрим для наглядности построение простого графика функции у = (х- 3)2 – 11) Строим базовый график у = х2 По формуле у = k f ( x + m ) + n имеем m = - 3. 2) График у = х2 сдвигается вправо ( m <0) на три единицы , получили график у = (х - 3)2 По формуле у = k f ( x + m ) + n имеем n = -1. 3) График у = (х-3)2 сдвигается параллельным переносом вниз (n < 0) на одну единицу, получили график у = (х- 3)2 – 1 Подведем итоговое преобразование, комплексно объединяющее все предыдущие преобразования у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n . Из выше сказанного, после обобщений, следует :1) k – растягивает или сжимает график функции f (x) к оси ординат (Оу) 2) m – производит сдвиг графика вдоль оси абсцисс (Ох)3) n – производит сдвиг графика вдоль оси ординат (Оу) Для наглядности построим график функции у = – 2(х – 4)2 + 5, но разобьём построение на последовательные этапы1. у = х2 (базовый график)2. у = 2 х2 ( сжатие к оси ординат в два раза)3. у = – 2х2 ( симметричное отображение относительно Ох)4. у = – 2(х – 4)2 ( сдвиг влево на 4 единицы) 5. у = – 2(х – 4)2 + 5 (сдвиг вверх на 5 единиц) Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, базовый график у = х2 переходит в у = 2 х2 . Наблюдаем сжатие к оси ординат (Оу) в два раза Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, график у = 2х2 переходит в у = – 2х2 . Наблюдаем симметричное отображение относительно Ох. Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, график у = – 2х2 переходит в у = – 2(х – 4)2 . Наблюдаем сдвиг влево параллельным переносом на 4 единицы. Этапы построения графика функции у = – 2(х – 4)2 + 5, график у = – 2(х – 4)2 переходит в у = – 2(х – 4)2 + 5 .Наблюдаем сдвиг вверх параллельным переносом на 5 единиц. Таким образом по преобразованию у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n . график у = х2 в несколько этапов переходит в график у = – 2(х – 4)2 + 5 . Рассмотрим построение графика у = поэтапно, но без пояснений Второй шаг, результат первого шага пунктиром. Какое действие? Третий шаг, результат первых шагов пунктиром. Какое действие? Четвёртый, окончательный шаг. Какое действие? Это окончательный график у = .это график никогда не пересечёт горизонтальную линию у =- 3 и вертикальную линию х = - 2 ( их называют асимптотами) Вспомним, область определения функции D(y) = (-; -2)U(-2: ) область изменения функции Е (у) = (-; -3)U(-3: ) В преобразовании у = f (x) в у = k f ( x + m ) + n не учитывается коэффициент, который может стоять перед аргументом Х. В 10 классе это будет учитываться. А пока рассмотрим построение графика у = Область определения D(y)= [0;) базовой функции y =Минус перед аргументом делает область определения противоположной. D(y)= (-;0] для функции y =То есть происходит симметричное отображение базового графика, но относительно оси Оу.Ну а дальнейшие преобразования - параллельный сдвиг вправо и вниз Вам уже известен. Проследите самостоятельно эти этапы, но уже в одной системе координат. Проверьте степень усвоения учебного материала, ответив на тесты. Нажмите клавишу Esc и заполните тесты. Сравните свои ответы с приведёнными ниже, если результат Вас не удовлетворил, то посмотрите презентацию вновь, но более внимательно Дана функция Новая функция Описание преобразования y = x2 Сдвиг-перенос на 2 ед. вверх y = x2 y = x2 – 4 y = x2 симметрия относительно оси Ох y = (x + 2)2 Перенос на 2 ед. влево y = x2 Перенос на 2 ед. вправо y = x2 Растяжение в 2 раза от оси Оy Дана функ-ція Нова функція Опис перетворення y = x2 Перенесення на 1 од. вниз y = x2 y = x2 + 6 y = x2 симетрія відносно осі Ох y = (x –1)2 Перенесення на 1 од. вправо y = x2 Перенесення на 1 од. вгору y = x2 Стиск в 2 рази до осі Оy B-1 русский яз B-2 украинский язык Проверим результаты усвоения материала Дана функция Новая функция Описание преобразования y = x2 y=x2+2 Сдвиг-перенос на 2 ед. вверх y = x2 y = x2 – 4 Сдвиг-перенос на 4 ед. вниз y = x2 y = –x2 симметрия относительно оси Ох y = x2 y = (x + 2)2 Перенос на 2 ед. влево y = x2 y = (x - 2)2 Перенос на 2 ед. вправо y = x2 y= 0,5 x2 Растяжение в 2 раза от оси Оy Дана функ-ція Нова функція Опис перетворення y = x2 y = x2 -1 Перенесення на 1 од. вниз y = x2 y = x2 + 6 Перенесення на 6 од. вгору y = x2 y=-x2 симетрія відносно осі Ох y = x2 y = (x –1)2 Перенесення на 1 од. вправо y = x2 y=x2+1 Перенесення на 1 од. вгору y = x2 y=2x2 Стиск в 2 рази до осі Оy B-1 B-2 Удачи и терпения в изучении математики !!! Когда будете закрывать программу , пожалуйста, не сохраняйте изменения.