Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Основные понятия и определения системы линейных алгебраических уравнений» — урок 10-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.2.Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 8 УРОК ДЕСЯТЫЙ Основные понятия и определения системы линейных алгебраических уравнений. ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2………………………………..am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Числа а11 , а12 , ... , а mn - это коэффициенты системы Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы Переменные х1, х2 ,…, хm - неизвестные, значениякоторых надо найти 1 Система линейных уравнений однородной Система линейных уравнений если все свободные члены равны нулют.е.b1 = b2 = … = bm = 0 неоднородной если хоть один из свободных членов не равен нулю несовместной Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать их отсутствие Система уравнений имеет решение? НЕТ совместной ДА Если решение одно, тосистема называетсяСовместной определённой Если решений бесконечно много, то система называетсяСовместимой неопределённой ОДНО МНОГО АХ = В А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. 1 А = а11 а12 ... a1na21 a22 … a2n.....................am1 am2 … amn X = X1X2….Xn B = b1 b2…. bm Система записи систем линейных уравненийМатричный вид Расширенная матрица системы - А|В: к основной матрице системы добавляется столбец свободных членов A/B = а11 а12 ... a1n / b1a21 a22 … a2n / b2..................... / ....am1 am2 … amn / bm А – основная матрица системы, В – матрица-столбец свободных членов. Система записи систем линейных уравненийРасширенная матрица Задана система уравнений. Сделать анализ. Х1 + Х2 = 3Х1 – Х2 = 1 Анализ. Задание. Это неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Система совместная, имеет единственное решение Х1 = 2, Х2 = 1 Геометрически это означает, что две прямые пересекаются в одной точке, координаты которой (2;1). ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3 Рассмотрим пример 1 Х1 + Х2 = 3 Х1 – Х2 = 1 Х1 Х2 0 2 1 Графически это выглядит так: Х1 + Х2 = 3Х1 – Х2 = 1 Х1 + Х2 = 32Х1 + 2Х2 = 6 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. Это так же неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Она совместная, имеет бесконечное множество решений: (2;1), (4;-1), (0;3), и т.п.Геометрически это означает, что две прямые совпадают друг с другом, и решением системы являются координаты точек, принадлежащие этой прямой ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3 Рассмотрим пример 2 Х1 + Х2 = 3 2Х1 + 2Х2 = 6 Х1 Х2 0 2 1 Графически это выглядит так: Х1 + Х2 = 32Х1 + 2Х2 = 6 1 2 (2;1) (1;2) 4 -1 (4;-1) (0;3) 3 3 (3;0) Это неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.Она несовместная, т.е. нет ни одной пары (Х1;Х2), которая при подстановке в каждое уравнение системы обращала бы их одновременно в верные числовые равенства. Геометрически это означает, что прямые параллельны. Х1 + Х2 = 3Х1 + Х2 = 7 Рассмотрим пример 3 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3 Х1 + Х2 = 3 Х1 + Х2 = 7 Х1 Х2 0 1 1 Графически это выглядит так: Х1 + Х2 = 3Х1 + Х2 = 7 (4;3) (5;2) 2 3 4 5 6 7 2 3 4 -1 -2 (0;3) (3;0) Х1 + Х2 = 25Х1 - Х2 = 0 2 2 Это нелинейная система двухуравнений с двумя переменными. Ее можно решить, например,методом подстановки, дать геометрическую интерпретацию. Но такими системами этот раздел не занимается. Рассмотрим пример 4 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. х2 х1 2 4 -2 -2 2 4 -4 -4 (2;2) (-2;-2) 0 (-5;0) (5;0) (0;5) (0;-5) Х1 + 2Х2 = 03Х1 + 5Х2 = 0 Это однородная система двух линейных уравнений с двумя переменными. Она совместная, имеет единственное решение (0;0) Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. х2 х1 2 2 -2 -2 -4 4 4 -4 6 0 Х1 + 2Х2 =0 (-2;4) (2;-4) (10/3;-2) (-10/3;2) 3Х1 + 5Х2 =0 Рассмотрим пример 5 2Х1 + 3Х2 = 06Х1 + 9Х2 = 0 Это однородная система двух линейных уравнений с двумяпеременными. Она совместная, имеет бесконечное множество решений, например, (0;0), (-3;2), (3;-2), и т.д. Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. х2 х1 -1 -2 -3 1 2 3 1 2 -1 -2 (-3;2) (0;0) (3;-2) Рассмотрим пример 6 3x + 4y + 7z = 0x - 5y + 6z = 18x + y – z = 10 Это неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Но здесь не так легко, как в предыдущих примерах, ответить на вопрос о ее совместности или несовместности. Разберитесь с ней позже, самостоятельно Рассмотрим пример 7 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. Способ или метод отыскания имеющихся решений. Совместна система линейных уравнений или нет? Если система совместна, то сколько решений она имеет: единственное или бесконечное множество? Нас будут интересовать три факта Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.