Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Решения задач с невырожденными матрицами» — урок 8-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.1.Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Практикум № 1 УРОК ВОСЬМОЙ Решения задач с невырожденными матрицами ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru Решение. ОТВЕТ: Задана матрица А = 3 -1 Найти комбинацию 2А Задание. Задача № 1 Найти линейную комбинацию матриц А + В = С Задание. А = В = -2 4 2 0 -1 2 3 4 6 2 Решение. Ответ: С = 0 7 6 6 1 Задача № 2 Найти линейную комбинацию матриц С = А - 3В Задание. Решение. Ответ: С = 4 -1 -1 -7 3 0 А = 2 -1 3 0 В = -1 1 1 2 0 0 Задача № 3 Задание. Найти значение матричного многочлена f (A), если f (x) = 2x + 5x + 9 , 2 A = 2 3 0 Решение. A = A A = 2 3 0 2 3 0 = 1+6 2+0 3+0 6+0 = 2 3 6 2 f (A) = 2A + 5A + 9E 2 , E = 0 0 1 f (A) = 2 2 3 6 + 5 2 3 0 + 9 0 0 1 = 0 6 9 -3 Ответ: f (A) = 0 6 9 -3 Задача № 4 Задание. Найти значение матричного многочлена f (A), если f (x) = 2x - 4х + 7 , 3 A = 3 4 2 A = A A = 3 4 2 3 4 2 А = 1+12 3+6 4+8 12+4 = 1 3 4 2 3 f (A) = 2A - 4A + 7E 3 , E = 13 9 12 16 f (A) = 2 49 57 76 68 - 4 3 4 2 + 7 0 0 1 = Ответ: f (A) = 101 102 136 135 2 Решение. 1 3 4 2 = = 13+36 39+18 12+64 36+32 = 57 76 68 1 0 0 1 102 136 135 Задача № 5 а) Задание. Транспонировать матрицу А = 1 0 -2 3 Решение. Ответ: б) Задание. Транспонировать матрицу А = 2 3 1 4 -3 2 Решение. Ответ: Задача № 6 Найти минор М23 матрицы А к элементу а23 Задание. А = 2 -1 0 3 7 8 4 Решение. М23 = 2 7 8 = 8 – 14 = - 6 Ответ: М23 = - 6 Задача № 7 Найти алгебраическое дополнение А23 матрицы А Задание. А = 2 -1 0 3 7 8 4 Решение. = 6 Ответ: А23 = 6 Задача № 8 Задание. Вычислить определитель второго порядка Δ = -2 7 5 Решение. -2 7 5 Δ = = 11 5 - 7 (-2) = 55 + 14 = 69 -2 7 5 Δ = = 69 Ответ: Задача № 9 Вычислить определитель методом треугольников Задание. 3 -1 1 3 1 -2 -2 Δ = Решение. Δ = Δ = 54 Ответ: Задача № 10 Вычислить определитель Задание. 1 7 3 4 1 0 1 0 1 0 -1 3 0 0 5 Δ = Решение. Δ = 12 Ответ: Δ = Задача № 11 Задание. Решить матричное уравнение Δ = Решение. Δ = Χ 1 3 3 χ1 4 3 = х Α11 + 1 А12 + 3 А13 = 40 Δ = Ответ: х1 = 2 ; х2 = 1/2 Задача № 12 Задача № 13 Задание. Решить матричное неравенство Решение. Δ = 3 Х 1Х 5 33 4 2 = 3 Α11 + х А12 + 1 А13 3(10 - 12) – X(2X – 9) + 4X – 15 > - 3;-2X2 + 13X – 18 > 0;2X2 – 13X + 18 < 0;2 < X < 4,5. Ответ: Х Э ( 2; 4,5 ) Задание. Найти обратную матрицу для матрицы Решение. Δ = -1 2 4 = 4 + 2 = 6 Α = -1 1 6 4 1 -2 1 Α = -1 1 6 4 1 -2 1 Ответ: Задача № 14 Задание. Найти обратную матрицу для матрицы Решение. Δ = -3 4 0 2 3 1 -2 1 = 1 Α11 + 1 Α31 = 8 – 17 = -9 Α = - -1 1 9 Ответ: Задача № 15 Задание. Найти обратную матрицу для матрицы Решение. Α = - -1 1 6 Ответ: 2 0 -8 1 -3 5 -2 0 3 Задача № 16 Задание. Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной -2 2λ 3 02 1 1 А = Решение. -2 2λ 3 02 1 1 Δ = = 3 – 0 + 2λ – 12 – 0 + 2λ = 4λ - 9 ≠ ≠ Если 4λ – 9 0, т.е. λ ,то Δ 0 9 4 ≠ Матрица А невырожденная, значит имеет обратную Ответ: λ = 9 4 Задача № 17 Задание. Показать, что матрица А является обратной для В, если 1 1 1 2 3 1 3 6 3 -3 1 -3 5 -2 1 -2 1 А = В = Решение. А В = 1 1 1 2 3 1 3 6 3 -3 1 -3 5 -2 1 -2 1 = 3-3+1 -3+5-2 1-2+1 3-6+3 -3+10-6 1-4+3 3-9+6 -3+15-12 1-6+6 0 0 0 1 0 0 0 1 = = Е Аналогично В А = Е Ответ: матрица А являетсяобратной для В = Задача № 18 Задание. Решить матричное уравнение -1 2 2 -3 -2 3 1 -4 Х = Решение. Запишем матричное уравнение в виде АХ = В Х = А В -1 detA = -1 2 2 -3 ≠ = - 1 0 A = -1 1 Δ Α* = (-1) -3 -2 -2 -1 = 3 2 2 1 Х = А В = -1 3 2 2 1 -2 3 1 -4 -4 1 -3 2 = Ответ: -4 1 -3 2 Х = Задача № 19 Задание. Найти матрицу Х , удовлетворяющую уравнению 1 0 1 2 -1 -2 2 3 3 -2 5 -4 Х = Решение. Запишем матричное уравнение в виде АХС = В Х = А В С -1 -1 detA = 1 0 1 2 = 2 0 detC = -1 -2 2 3 = 1 0 ≠ ≠ А = 1 0 -1/2 1/2 -1 С = -1 Х = 3 -2 5 -4 1 0 -1/2 1/2 3 2 -2 -1 3 2 -2 -1 3 -2 1 -1 3 2 -2 -1 13 8 5 3 = = Ответ: Х = 13 8 5 3 Задача № 20 Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.