Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Обратная матрица. Матричные уравнения» — урок 7-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.1.Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 7 УРОК СЕДЬМОЙ Обратная матрица. Матричные уравнения ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru Квадратная матрица А = (аij ) , где i = j = 1,2,3,…,n, называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю На пример: А = - вырожденная матрица, т.к. det (А) = 9 - 9 = 0 В = - невырожденная матрица, т.к. det (В) 0 Квадратная матрица А = (аij ) , где i = j = 1,2,3,…,n, называется вырожденной, если ее определитель равен нулю ≠ Основное понятие Если квадратная матрица А невырожденная, определитель, которой не равен нулю, то для нее существует обратная матрица А , которая задаётся условием: -1 -1 -1 А А = А А = Е где Е - единичная матрица Определение Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная. Матрица Α* называется союзной к квадратной матрице Α , если элементы матрицы Α* равны алгебраическим дополнениямсоответствующих элементов матрицы Α ВЫВОД Α = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Α* = A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 Обратите внимание на индексацию алгебраических дополнений. Введём понятие союзной матрицы Пусть задана матрица А , причём detA 0 ≠ Α = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1) Таким образом, матрица A – невырожденная, т.к. detА 0 , значит она имеет союзную A* ≠ Доказательство Α* = A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 Всякая невырожденная матрица имеет обратную Теорема 2) Найдём произведение матриц А и А* А А* = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 = = = а11А11 + а12А12 + а13А13 ... а11А31 + а12А32 + а13А33а21А11 + а22А12 + а23А13 ... а21А31 + а22А32 + а23А33а31А11 + а32А12 + а33А13 ... а31А31 + а32А32 + а33А33 = detA 0 0 0 detA 0 0 0 detA = detA 0 0 0 1 0 0 0 1 = detA E , т.е. А А* = detA E ( 1 ) 3) Найдём произведение матриц А* и А a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 = A* A = = detA 0 0 0 detA 0 0 0 detA = detA 0 0 0 1 0 0 0 1 = detA E , т.е. А* А = detA E ( аналогичным способом ) ( 2 ) Сравнивая полученные результаты равенства (1) и (2) с определением обратной матрицы, получаем А А* = detA E А* А detA = E А* А = detA E А* А detA = E А* А = detA -1 А* А = detA -1 1 detА = A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 (1) (2) Ч. Т. Д. А = -1 1 detА A11 A21 A31 ….A n1A12 A22 A32…. An2…………………..An1 An2 An3 …. Ann detА – определитель матрицы А,Аij – алгебраические дополнения для элемента аij матрицы А. где Обратную матрицу вычисляют по формуле Пусть дана матрица 2 6 4 А = Определить, существует ли обратная матрица А -1 Решение. detA = 2 6 4 А = 2 6 4 = 12 – 12 = 0 A – вырожденная матрица, следовательно, обратной для нее – A - не существует. -1 Ответ: нет Рассмотрим пример 1 Пусть дана матрица Определить, существует ли обратная матрица А А = 0 0 0 2 0 1 3 4 Решение. А = 0 0 0 2 0 1 3 4 detA = 0 0 0 2 0 1 3 4 = 1(8-0) + 1(0-0) = 8 ≠ 0 A – невырожденная матрица, следовательно, обратная для нее существует и находится по формуле: -1 Рассмотрим пример 2 А = -1 1 detА A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 , detA = 8 А = 0 0 0 2 0 1 3 4 А11 = (-1) 0 3 4 = + (8 – 0) = 8 А12 = (-1) 0 0 1 4 = - (0 – 0) = 0 1+1 1+2 А13 = (-1) 0 2 1 3 = + (0 – 2) = -2 1+3 1 – ыйстолбец Найдём все алгебраические дополнения А = 0 0 0 2 0 1 3 4 А21 = (-1) 0 0 3 4 = - (0 – 0) = 0 2+1 А22 = (-1) 1 0 1 4 = + (4 – 0) = 4 2+2 А23 = (-1) 1 0 1 3 = - (3 – 0) = -3 2+3 2 – ойстолбец А = -1 1 detА A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 , detA = 8 Найдём все алгебраические дополнения А = 0 0 0 2 0 1 3 4 А31 = (-1) 0 0 2 0 = + (0 – 0) = 0 3+1 А32 = (-1) 1 0 0 0 = - (0 – 0) = 0 3+2 А33 = (-1) 1 0 0 2 = + (2 – 0) = 2 3+3 3 – ыйстолбец А = -1 1 detА A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 , detA = 8 А = -1 1 8 8 0 0 0 4 0 -2 -3 2 Тогда получим: Найдём все алгебраические дополнения А А = -1 1 8 8 0 0 0 4 0 -2 -3 2 0 0 0 2 0 1 3 4 1 8 = 8+0+0 0+0+0 0+0+0 0+0+0 0+8+0 0+0+0 -2+0+2 0-6+6 0+0+8 = = 1 8 8 0 0 0 8 0 0 0 8 = Е А = -1 1 8 8 0 0 0 4 0 -2 -3 2 Ответ: Значит, обратная матрица найдена верно 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = Сделаем проверку Используется только для матрицы второго порядка Равен Δ нулю? Найдём Δ заданной матрицы обратной матрицы Αне существует -1 да Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный. Делим все элементы на Δ и получаем обратную матрицу Α. Алгоритм нахождение обратной матрицы (облегченный способ ) -1 нет Задание. Найти обратную матрицу А для А = 1 1 2 -1 Решение. detA = 1 1 2 = 2 – 1 = 1 0 1. Найдём определитель: ≠ 2. Соберём союзную матрицу: А* = 2 -1 -1 1 3. Разделим все элементы А* на Δ : А = 2 -1 -1 1 -1 Ответ: А = 2 -1 -1 1 -1 Рассмотрим пример 3 Матричные уравнения простейшего вида с неизвестнойматрицей Х записываются следующим образом: А Х = В Х = А В -1 Х А = В Х = В А -1 А Х С = В Х = А В С -1 -1 А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все операцииумножения возможны Если матрицы А и С невырождены, то решение записывают так: Матричные уравнения Задание. Решить матричное уравнение -3 0 5 -1 -3 6 1 -4 Х = Решение. Запишем матричное уравнение в виде АХ = В Х = А В -1 detA = -3 0 5 -1 ≠ = 3 0 A = -1 1 Δ Α* = -1 0 -5 -3 = -1/3 0 -5/3 -1 Х = А В = -1 -3 6 1 -4 1 -2 6 -14 = Ответ: 1 -2 6 -14 Х = 1 3 -1/3 0 -5/3 -1 Рассмотрим пример 4 Найти обратную матрицу к матрице                          Решение ШАГ 1. Вычисляем определитель матрицы: ШАГ 2. Вычислить алгебраические дополнения Решить самостоятельно ШАГ 3. Полученные значения подставим в исходную формулу Получим: ( ответ ) Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.