Внеурочные занятия — Иррациональное число

Иррациональное число Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби , где m — целое число, n — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .Множество иррациональных чисел обычно обозначается . Таким образом — множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел. Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.По теореме Пифагора: a2 = 2b2.Так как a2 четное, a должно быть четным (так квадрат нечетного числа был бы нечетным).Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.Так как a четное, обозначим a = 2y.Тогда a2 = 4y2 = 2b2.b2 = 2y2, следовательно b2 четное, тогда и b четно.Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие. Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами. Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин: результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной. Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней. Свойства Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.Каждое трансцендентное число является иррациональным.Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории. Примеры e — основание натурального логарифма — отношение длины окружности к длине её диаметра — золотое сечение — универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует. Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler) Пи Математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров. Памятник числу Пи Золото́е сече́ние Деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения: 1 : j : j 2 : j 3 : j 4 : j 5 : j 6 : j 7, где j =0,618  Постоянная Фейгенбаума — универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом Фейгенебаумом в 1975 г.Численно равна , и получается как сходящееся число, при решении бесконечного числа итераций уравнений xn + 1 = axn(1 − xn) или xn + 1 = asin(xn).Физический смысл — скорость перехода к беспорядку систем, испытывающих удвоение периода.Характеризует большое количество динамических систем, таких как турбулентность, рост популяций, осцилляция и пр. Постоянная Фейгенбаума Мнемонические правила Чтобы нам не ошибаться,Надо правильно прочесть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.Надо только постаратьсяИ запомнить всё как есть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, два, шесть, пять, три, пять.Чтоб наукой заниматься,Это каждый должен знать.Можно просто постаратьсяИ почаще повторять:«Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, двадцать шесть и пять».Два и семь, восемнадцать,Двадцать восемь, восемнадцать,Двадцать восемь, сорок пять,Девяносто, сорок пять.