Урок по алгебре для 8 класса Свойства числовых неравенств

Свойства числовыхнеравенств(8 класс) А. Нивен Определение Действительное число а больше (меньше) действительного числа в, если их разность (а-в)- положительное (отрицательное) число. Пишут: а > в ( а < в ) Такие неравенства называются строгими. Строгие неравенства а > 0 означает, что а– положительное числоа < 0 означает, что а – отрицательное числоа > в означает, что (а-в)-положительное число, т.е. (а-в)>0 а < в означает, что (а-в)- отрицательное число, т.е. (а-в)<0 Нестрогие неравенства а ≥ 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т.е. а – неотрицательное число, или что а не меньше нуляа ≤ 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т.е. а – неположительное число, или что а не больше нуля Нестрогие неравенства а ≥ в означает, что а больше в или равно в, т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0а ≤ в означает, что а меньше в или равно в, т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0 Свойства числовых неравенств Свойства:1) если а>в, в>с, то а>с2) если а>в, то а+с >в+с3) если а>в и m>0, то аm>вm4) если а>в и m<0, то аm<вm5) если а>в, то -а<-в Например: если 5>3, 3>-4, то 5>-4если 5>3, то 5+2 >3+2если 5>3 и 10>0, то 5·10>3·10, т.е. 50>30если 5>3 и -2<0, то 5·(-2)< 3·(-1), т.е. -10<-35) если 5>3, то -5<-3 Свойства числовых неравенств 6) если а>в, с>d, то а + с > в + d7) если а>в>0 и с>d >0, то ас > вd 8) если а>в≥0, nєN, то аⁿ > вⁿ 9) если а>в>0, то 1/а < 1/в 6) если 5>3, 4>2, то 5 + 4 > 3 + 2, т.е. 7>57) если 5>3>0 и 4>2 >0, то 5·4 > 3·2, т.е. 12>68) если 5>3≥0, 2єN, то 5І > 3І, т.е. 25 > 99) если 5>3>0, то 1/5<1/3 Известно, что 2,1 <а< 2,2 и 3,7 <в< 3,8.Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в) а+в г) а-в д) аІ е) ві ж) 1/а Решение: а) 2а ? 2,1 <а< 2,2 2 · 2,1 < 2а< 2,2 · 2 4,2 <2а< 4,4 Решение: б) -3в ? 3,7 <в< 3,8 -3 · 3,7 > -3 · в > -3 · 3,8 -11,1 > -3в > - 11,4 - 11,4 <-3в< -11,1 Известно, что 2,1 <а< 2,2 и 3,7 <в< 3,8.Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) аІ е) ві ж) 1/а Решение: в) а+в ?Сложим почленнонеравенства одинаковогосмысла 2,1 <а< 2,2 3,7 <в< 3,8 5,8 <а+в<6,0 Решение: г) а-в ? 3,7 < в < 3,8.-1·3,7 > -1 · в > -1· 3,8 -3,7 > - в > - 3,8 - 3,8< - в < -3,7 Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 <а< 2,2 - 3,8< - в < -3,7 - 1,7 < а - в < - 1,5 Известно, что 2,1 <а< 2,2 и 3,7 <в< 3,8.Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) аІ е) ві ж) 1/а Решение: д) аІОбе части двойногонеравенства 2,1 <а< 2,2положительны, значит (2,1)І < (а)І < (2,2)І 4,41 < аІ < 4,84 Решение: е) ві Возведем все части неравенства 3,7 < в < 3,8 в куб (3,7)і < (в)і< (3,8)і 50,653 < (в)і< 54,872 Известно, что 2,1 <а< 2,2 и 3,7 <в< 3,8.Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) аІ е) ві ж) 1/а Решение: ж) 1/а По свойствам неравенств если а>0; в>о и а<в, то 1/а >1/вЗначит, если 2,1 < а < 2,2, то 1 : 2,1 > 1 : а > 1 : 2,2 10/21 > 1 : а > 5/11 Т.к. 110/231 > 1 : а > 105/231 105/231 < 1/а <110/231 5/11 < 1/а < 10/21