Презентация по математике на тему Классическое определение вероятности

ГБПОУ РО ПРОМЫШЛЕННО-ПОЛИГРАФИЧЕСКОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧИЛИЩЕ № 13 Учитель математики: Глебова Любовь Николаевна Цель урока: рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей. План урока:1) Организационный момент.2) Повторение и закрепление пройденного материала.3) Изучение нового материала.3.1. Что изучает теория вероятностей.3.2. Краткая историческая справка.3.3. Что такое теория вероятностей? 3.4. Решение простейших вероятностных задач.4) Итоги урока.5) Домашнее задание. 3.1. Что изучает теория вероятностей.Теория вероятностей – это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений. Предметом изучения теории вероятностей является исследование вероятностных закономерностей случайных (однородных) массовых явлений. Методы, выявленные в теории вероятностей, нашли широкое применение в большинстве современных наук и различных отраслях деятельности человека.Теория вероятностей применима в робототехнике. Например, некое автоматизированное устройство (первичная заготовка робота) выполняет определенные вычисления. В то время как она ведет расчеты, снаружи на нее систематически воздействуют различными помехами, незначительными для системы, но сказывающимися на результатах работы. Задача инженера состоит в том, чтобы определить, с какой частотой будет возникать ошибка, навязанная внешними помехами. Так же методами теории вероятности возможно разработать алгоритм для сведения погрешности вычисления к минимуму. Задачи подобного рода очень часто встречаются в физике и при разработке новых видов техники. Они требуют тщательного изучения не только главных закономерностей объясняющих основные черты данных явлений в общих их понятиях, но и анализа случайных искажений и возмущений, связанных с действием второстепенных факторов, которые придают исходу опыта в заданных условиях тот самый элемент случайности (неопределенности). Краткая историческая справка Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Появление понятия вероятности было связано как с ᴨᴏᴛребностями страхования, так и в связи с запросами азартных игр. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Д. Кардано Г. Галилей Но при этом честь открытия этой теории, которая не только предоставляет возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Б. Паскаль П.Ферма Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а кроме того разработана теория цепей Маркова. Современный̆ вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым П.Л.Чебышев А.А.Марков А.М.Ляпунов А.Н.Колмогоров Первичные понятия теории вероятностей Опыт (испытание) – это производимые действия. Событие – это результат опыта.Какое-либо конкретное событие является, как правило, делом случая (оно может произойти, а может и не произойти) и поэтому оно называется случайным. В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти. НАПРИМЕР: В 12.00 по мосту проедет красная машина. Перед машиной пробежит черная кошка. При бросании кубика выпадет тройка. Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными. Примеры.1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные. 2. Брошена монета. Появление орла исключает появление решки. События «появился орел» и «появилась решка» - несовместные.3. Примеры ребят. Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ. Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое- то преимущество. Примеры.Появление орла или решки при бросании монеты представляют собой равновероятные события.2. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).3. Примеры ребят. Событие, которое происходит всегда, называют достоверным событием.Вероятность достоверного события равна 1. Событие, которое не может произойти, называется невозможным.Вероятность невозможного события равна 0. Примеры.1. Машина заведется без аккумулятора. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события.2. Машина заведется с аккумулятором. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Это достоверные события.3. Пусть, например, в автосалоне продаются только белые автомобили, продают один. Тогда продажа белого автомобиля – достоверное событие; продажа черного автомобиля – невозможное событие. Что такое «теория вероятностей»? Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)Теория вероятностей – это математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким – либо образом с первыми. (А.А.Боровков «Теория вероятностей», М.: Наука, 1986 год.)Вероятность – это численная характеристика реальности появления того или иного события. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания. 3) частное , оно и будет равно вероятности события А. Значит Алгоритм нахождения вероятности случайного события. Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти: 1) число N всех возможных исходов данного испытания; 2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А; Принято вероятность события А обозначать так: Р(А). Пример. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным. Благоприятное событие А: подшипник окажется стандартным. Решение. Количество всех возможных исходов N = 1000. Количество благоприятных исходов N(A)=1000-30=970. Значит: Ответ: 0.97. Правило умножения: для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. Пример. Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5. Благоприятное событие А: в сумме выпало 4 очка. Количество всех возможных исходов: Кол-во благоприятных исходов N(A)= 1-я кость - 6 вариантов2-я кость - 6 вариантов N=6∙6=36. {1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1}=4 Решение: Значит: Ответ: События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В. Пример. Бросаем один раз игральную кость. Событие А – выпадение четного числа очков, Событие Ā - выпадение нечетного числа очков. При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий Событие, противоположное событию А, обозначают символом Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным. Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N = 1000. Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.Поэтому N(A) = 994. Тогда Ответ: 0,994.Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события = {аккумулятор неисправен}. Тогда N(Ā)=6. Имеем = Значит, P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994. Ответ: 0,994. Решение задач. 1. Автомобиль проезжает мимо светофора два раза, какова вероятность того что: хотя бы один раз, будет гореть зеленый?:а) хотя бы один раз, будет гореть зеленый? б) оба раза, будет гореть зеленый? (слайд 13) б) Пусть В - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания оба раза, будет гореть зеленый.Событию В благоприятствует один исход ЗЗ, т.е. N(B) = 1. Следовательно,  а) Пусть А - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания хотя бы один раз, будет гореть зеленый?Равновозможными элементарными исходами здесь являются: КЗ, КЖ, КК, ЗК, ЗЖ, ЗЗ, ЖК, ЖЗ, ЖЖ, т.е. N = 9. Событию А благоприятствуют исходы: КЗ,ЗК, ЗЖ, ЗЗ, ЖЗ, т.е. N(A) = 5.Следовательно, Решение. 2.  У Маши сломался автомобиль, она набирает номер автосервиса, но понимает, что забыла последнюю цифру номера телефона, найдите вероятность того, что девушка дозвонится до мастера с первого раза? Общее число элементарных исходов равно N = 10 .Событию А благоприятствует одна цифра,  N(А) = 1.Следовательно,  . Решение. 3. В фирме такси 6 красных и 6 желтых автомобилей. На вызов уехало 8 машин. Определите вероятность события А - все выбранные машины красные Решение. Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное. Ответ: 0. 4. Научная конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад автомеханике окажется запланированным на последний день конференции? Так как в третий день будут слушать 10 докладов, то благоприятных исходов N(А) = 10, а всего докладов 50, т.е. равновозможных исходов N = 50. Поэтому . Решение. 5. Перед началом первого тура чемпионата по автогонкам разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 51 гонщиков, среди которых 16 участников из России, в том числе Василий Петров. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Петров будет соревноваться с каким – либо гонщиком из России. Число всех исходов N = 50. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно 15. Все элементарные события равновозможные по условию задачи, поэтому Решение. Решение задач в группах 1. В двигатели автомобиля 4 свечи зажигания, какова вероятность того, что одна из них вышла из строя. 2. В автосервисе стоят 6 поломанных автомобилей: 1- ГАЗ, 2- ВАЗ (LADA), 1- УАЗ, 1 - Ford,1- Chevrolet. Найдите вероятность того, что первыми сделают иномарки. 3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. 4. На экзамене по автомеханике в 4 билетах встречается вопрос про трансмиссию, 7 билетов про двигатель, 9 билетов про ходовую часть и 5- про электрооборудование. Студент выучил все билеты про ходовую часть автомобиля. Найдите вероятность того, что билет, который он вытянет, окажется про ходовую часть автомобиля. 5. В чемпионате России по автогонкам участвует 20 спортсменов: 8 из Южного ФО, 7 из Центрального ФО, остальные – из Северо-Западный ФО. Порядок, в котором выступают гонщики, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Северо-Западный ФО. 6. Фабрика выпускает шины на автомобиль. В среднем на 100 качественных шин приходится восемь шин со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная шина окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решения к задачам 1. Общее число элементарных событий N = 4. Событию A = {одна свеча вышла из строя} благоприятствует только одно элементарное событие. Поэтому N(A)=1. Тогда Ответ: 0,25. 2. Автомобилей всего шесть. Значит, N=6. Событию A={сделают иномарку} благоприятствует два элементарных события: Ford, Chevrolet. Поэтому N(A) = 2. Элементарные события равновозможные. Поэтому Ответ: 3.Элементарный исход в этом опыте – порядочная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N = 3. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки где сумма равна 8. Таких ячеек 5. Значит событию А = {сумма равна 8} благоприятствует пять элементарных исходов. Следовательно, N(A) = 5. Поэтому 4. Всего билетов N=4+7+9+5+5=25. Событию А = {билет про ходовую часть} благоприятствуют только 9 исходов. Поэтому N(A)=9. Тогда 5. Элементарные события – спортсмен, выступающий первым. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А = {первым выступит спортсмен из Северо-Западный ФО }, нужно подсчитать число спортсменов из Северо-Западный ФО: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможные по условию задачи, поэтому 6. Элементарный исход – случайно выбранная шина. Поэтому N = 108. Событию А = {качественная шина} благоприятствуют 100 исходов.Поэтому N(A) = 100. Тогда Итог урока Домашнее задание: Придумать 5 задач, связанных с профессией автомеханик, на нахождение классической вероятности. 1. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. 10 - 11классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;2. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник;3. И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь/ Под редакцией А.Л.Семенова,И.В.Ященко. Москва. Издательство МЦНМО, 2012;4. Задача В10. Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2012. 5. Интернет – источники:http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/1_3/ http://ssau2011.narod2.ru/l1.htm Литература.