Работа учеников. Описание монгольского орнамента математическими формулами.

Школа при Посольстве России в Монголии.Номинация “Хочу все знать” Описание монгольского орнамента математическими функциями Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики. Г.Вейль Перед вами самые известные узоры монгольского орнамента и эмблема Соёмбо, которая расположена на государственном флаге Монголии Когда на уроках математики мы изучали графики различных степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических функций, учителя показывали нам как влияет на вид графиков этих функций дополнительные параметры, модули, степени. И мы решили исследовать национальные орнаменты и описать их известными математическими функциями. И так, приступаем к исследованию. Для того, чтобы реализовать результаты наших исследований мы используем сайты: nigma.ru; desmos.com. Как мы видим в этой эмблеме четыре прямоугольника, два круга, полумесяц, два треугольника, полукруг – чаша с огнем, и замысловатая кривая, отделяющая инь и янь в центральном круге. Графики в виде прямоугольников можно задавать двумя способами:1. С помощью степенных уравнений вида y=x2k 2. С помощью уравнений, содержащих модули. Реализуем каждый из этих способов. Попробуем это релизовать :За основу выберем уравнение |y+x|+|y-x|=a. Графиком данного уравнения будет квадрат со стороной a, в этом легко убедиться на сайте nigma.ru|y+x|+|y-x|=6 Теперь, чтобы превратить квадрат в прямоугольник достаточно ввести перед переменными x и y коэффициенты. Тогда график уравнения: |kx+ly|+|ly-kx|=a есть прямоугольник со сторонами a/k и a/l Действительно на следующем слайде изображены графики уравнений :|x-6y|+|x+6y|=6|10x-2y|+|10x+2y| =10 |x-6y|+|x+6y|=6 |10x-2y|+|10x+2y| =10 Для того чтобы нарисовать замысловатую кривую в центральном круге Соёмбо будем использовать функцию y=arcsin(x/k) Запишем функции для окружностей, треугольников и полумесяца Соёмбо: Окончательно имеем: В монгольском орнаменте кроме прямоугольников мы можем встретить ромбы, параллелограммы, шестиугольники, восьмиугольники, более сложные фигуры. Попробуем реализовать их в виде графиков уравнений, содержащих модули. За основу возмем график уравнения :|x|+|y|=a – это квадрат, повернутый на 90 градусов; |x|+|y|=6 |y|+2|x|=2 Добавив к |y-x| модуль |x| и |y| можем получить различно расположенные параллелепипеды : |x|+|y-x|=6 |y|+|y-x|=6 Шестиугольник : |x|+|y|+|y-x|=6Восьмиугольник : |x|+|y|+|x+y|+|y-x|=12 или другой восьмиугольник : |x|+|y|+|x+y|+|y-x|=18 ||x|-|y||=1 ||y|+||x|-3|-3|=1 ||x|+||y|-3|-3|=1 ||x|+|y|-13|=1 y=arcsin(sin(x)) Замысловатые ломаные можно получить, используя функции: y=m*arcsin(sin(k(x-a))) y=arcsin(sin(k*x)) k=2 y=m*arcsin(sin(k*x)) k=2 m=2 В заключении с помощью математических функций изобразим сердечки: Авторы проекта: Ученики 11а класса: Агафонов Тэнгис и Дэмбэрэлсурэн Нямхуу.Ученики 10а класса: Сэлэнгэ Онон и Жаргасайхан Суруулхунан.Руководители. Учителя математики:Дмитриев Сергей СтепановичБалашова Татьяна Николаевна Спасибо за внимание к нашей работе.