Презентация по математике Приёмы быстрого счёта

«Приёмы быстрого счёта» Иоганн Генрих Песталоцци«Счёт, вычисления – основа порядка в голове» Устный счёт — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счеты и т. п.) и часто без приспособлений ( ручка, карандаш, бумага и т. п.). Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь быстро считать , то должны начать считать. Эта картина называется «Устный счет». Написал ее художник Николай Петрович Богданов – Бельский. 1895год. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя, он очень хорошо знал своих героев: вырос в их среде. Учитель – это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Яков Трахтенберг (17 июня 1888, Одесса, Российская империя). Родился в Одессе, Российская империя (сегодня Украина). Окончил с отличием Горный Институт в Петрограде, а позже работал на Адмиралтейских верфях в Обуховском заводе, где стал главным инженером, руководителем свыше 11 тысяч рабочих.После Великой Октябрьской Революции 1917 года Трахтенберг перебрался в Германию. После прихода к власти Гитлера выступал против нацизма.Во время Второй мировой войны. Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый «Метод Трахтенберга». Система быстрого счета по Трахтенбергу. Эта книга представляет собой печатное изложение Э. Катлером и Р. Мак-Шейном (Ann Cutler and Rudolph McShane) системы быстрого счета в уме, разработанной профессором, руководителем, а также и основателем Цюрихского Математического Института Яковом Трахтенбергом Цели данной работы:Изучить некоторые приемы устного счета, позволяющие ускорить и оптимизировать вычислительные процессы.Развить память и математическую культуры мышления.Развить творческие и интеллектуальные способности.Продемонстрировать актуальность данной темы в наши дни. Научиться использовать данные приемы.Задачи:Воспользовавшись различными источниками информации собрать, изучить и систематизировать материал о приемах устного счета. Рассмотреть некоторые приемы устного счета и на конкретных примерах показать преимущества их использования.Провести микроисследование: «Наличие навыков устного счета залог успешной сдачи экзамена». По сумме цифр делимогоДелимость составных чиселПо последним цифрам делимогоПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ Признаки делимости по последним цифрамделимогоПримерНа 2Числа, оканчивающиеся нулём или  чётной цифрой (2,4,6,8).8; 20; 34; 126; На 4Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.200; 112; 548; 1036; 793516.На 5Числа, оканчивающиеся 0 или цифрой 5.130; 95; 60;415.На 8Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.1000; 2104;5328.На 10Числа, оканчивающиеся нулём.30; 160; 2080 0.На100;1000…Числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей у делителя. 700; 40000На 20Число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.5740; 800360На 25Если запись числа оканчивается на 25, 50, 75, 00125; 9075; 800На 50Если запись числа оканчивается на 00 или 50.700; 6750; 43200 Признаки по сумме цифр делимогоПримерНа 3Если сумма цифр числа делится на 3153271+5+3+2+7= 1818:3=6На 9Если сумма цифр числа делится на 918 8191+8+8+1+9 = 2727:9=3На 11Если разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, кратна 11, либо эти суммы равны.98 855 0759+8+5+7=298+5+0+5=1829 – 18 = 11 1. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно чётное и делится на 3. 15 762 - чётное и сумма его цифр делится на 3 (1+5+7+6+2 = 21, 21 : 3 = 7); 15762 :6=2627;2. Признак делимости на12. Число делится на 12, если оно делится на 3 и на 4. 412356 (оканчивается на 56, 56:4=14; и сумма его цифр делится на 3: 4+1+2+3+5+6=21; 21:3=7); 412356:12=34363;3. Признак делимости на 15. Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5. 56190 (оканчивается на 0 и сумма его цифр делится на 3: 5+6+1+9+0=21, 21:3=7); 56190:15=3746.4. Признак делимости на 7. Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. 364 делится на 7,так как 36–(2*4)=28; 28:7=4.Признаки делимости составных чисел. 5. Признак делимости на 13. Число делится на 13, если число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно 13. 416 делится на 13, так как 41+(4*6)=41+24=65; 65:13=5.6. Признак делимости на 14. Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7. 518-чётное, делится на 2, 51-8*2=51-16=35 (35:7=5) – делится на 7; 518:14=37. 7. Признак делимости на 19. Число делится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.646 делится на 19, так как 64+(2*6)=76, 76:19=4; 646:19=34.8. Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.56732544 делится на 99, так как 56+73+25+44=198, 198:99=2   Пиёмы быстрого деление и умножении чиселДеление на 2. Иногда удобно число, которое делим представить в виде суммы или разности полных десятков и числа . 398:2=(400-2):2=(400:2)-(2:2)=200-1=199714:2=(700+14):2=700:2+14:2=350+7=357;Деление и умножение на 4 и 8. Чтобы число разделить на 4, надо дважды разделить это число на 2. 81264: 4=(81264:2):2=40632:2=20316 Чтобы умножить число на 4, надо последовательно двукратно умножить это число на 2. 153*4=153*2*2=306*2=612Деление (или умножение) на 8 являются трехкратным делением (или умножением) на 2. 57200:8=57200:2:2:2=28600:2:2=14300:2=7150237*8=237*2*2*2=474*2*2=948*2=1896 Деление и умножение на 5.  Чтобы любое число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.326:5= 326*2:10=652:10=65,2Чтобы число умножить на 5, можно его разделить на 2 и умножить частное на 10: 876*5=876:2*10=438*10=4380 Умножение (деление) на25 аналогично.120*25 = 120:4*100=30*100=3000.43:25=43*4:100=172:100=1,72 Деление 1000 на 2, 4, 8, 16. Полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 1000=2*500=4*250=8*125=16*62,5. Умножение на 9.  Чтобы умножить число на 9 можно сначала умножить это число на 10, а затем вычесть из результата само число. 89*9=89*10-89=890-89=801   Умножение на 11.1 способ. Чтобы, умножить число на 11, необходимо множимое умножить на 10 и прибавить множимое, 67*11=67*10+67=670+67=737.2 способ. Следует «раздвинуть» цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.53*11=5(5+3)3=58374*11=7( 7+4)4=7(11)4=814, единицу помещаем между восьмеркой (семерка плюс перенесенная единица) и четверкой. Умножение на  111, 1111, 11111 (для двузначных чисел, сумма цифр которых меньше 10)Чтобы умножить число на 111, 1111, 11111 и так далее нужно цифры этого числа «раздвинуть» на 2, 3 и так далее шагов, в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, 2, 3 и так далее раз.51*111=5(5+1)(5+1)1=566126*1111=2(2+6)(2+6)(2+6)6=28886 Метод дополнения до 100 98 * 97=…. | | 2 3 добавляем число, недостающее до 100 98 и 97 2*3=6 умножаем эти числа, записываем в конце произведения 06. Находим разность между любым из чисел и недостатком до 100 другого числа. 98-3=95; 97-2=95. В обоих случаях разности одинаковы. Записываем разность перед 06. Получившееся число и есть искомое произведение. 98*97=9506 462=(25-4)*100+42=2100+16=21164-дополнение до 50 532=(25+3)*100+32=28093-разница между 53 и 50 Метод дополнения до 50 Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.Примеры:1. 372=(37-25)*100+(50-37)2=12*100+132=1200+169=1369 2. 722=(72-25)*100+(72-50)2=47*100+222=4700+484=5184Возведение в квадрат любого двузначного числа. При возведении чисел в квадрат удобно используя формулы сокращенного умножения. 372=(30+7)2=302+2*30*7+72282=(30-2)2=302-2*30*2+22=900-120+4=784Рассмотрим и другие приёмы возведения в квадратВозведение в квадрат чисел от 40 до50.Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41,42,43,44,45,46,47,48,49),нужно к числу единиц прибавить 15, умножить на 100, затем к полученному числу прибавить квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат - однозначное число, то перед ним приписывается число о) 432=(3+15)*100+(10-3)2=1800+49=1849482=(8+15)*100+(10-8)2=2300+ 4=2304 Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.Например:542=(4+25)*100+4*4=2916572=(7+25)*100+7*7=3249Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.Число десятков умножаем на следующее за ним натуральное число и приписываем 25.152=(1*2)25=225; 352=(3*4)25=1225 ; 652=(6*7)25=4225 Возведение в квадрат чисел от 50 до 60. Квадрат числа, оканчивающегося на 1 При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0. 712 =702+70+71=4900+141=5041Квадрат числа, оканчивающегося на 6. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (оканчивающееся на 5) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.562 =552+55+56=3025+55+56=3080+56=3136 Квадрат числа, оканчивающегося на 9. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.592=602-60-59=3600–60–59=3481 Квадрат числа, оканчивающегося на 4. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.842=852-85-84=7225-85-84=7056 Зачем нужно уметь считать? Часто ли ты считаешь устно без калькулятора? Знаешь ли ты приемы быстрого счета? Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета? Хотел бы ты узнать приемы быстрого счета?