Презентация К уроку математики в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ. Решение текстовых задач.
Решение текстовых задачУчитель математики: Бажакина Александра ГеоргиевнаМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №22 имени Геннадия Федотовича Пономарёва
Текстовые задачи «Умение решать задачи – практически искусство, подобно плаванию, или катанию на коньках, или игре на фортепиано: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь» Д. Пойа22.03.20162
Текстовые задачи в различных учебниках алгебры 9 класса{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Текстовые задачиНа работуДвижение по окружностиСмеси, сплавыРаздел «Для внекл. работы»Ю.Н.Макарычев6515--Ш.А.Алимов557-220А.Г.Мордкович73141322.03.20163
Поиск пути решения задачи и составление плана решенияАнализ по текстуАналитический путь решения задачи (от вопроса к данным)Синтетический путь решения задачи (от данных к вопросу)Комбинированный путь (анализ и синтез)Разбиение задачи на смысловые частиВведение подходящих обозначений22.03.20164
Текстовые задачи:Задачи на движение.Задачи на работу.Задачи на сплавы и смеси. Задачи на проценты.22.03.20165
1. Задачи на движение. 1.1 Движение по прямой: 1.1. навстречу. 1.2. вдогонку. 1.3. с задержкой. 1.4. Движение по окружности. 1.5. Движение по воде. 1.6. Задачи на среднюю скорость. 1.7. Задачи на движение протяжённых тел. 22.03.20166
1.1 Движение навстречу1. Расстояние между городами А и Б равно 660 км. Из города А в город Б со скоростью 60 км/ч выехал поезд, а через 4 часа после этого навстречу ему из города Б выехал второй поезд. Найдите скорость второго поезда, если поезда встретились через 3 часа после его выезда из города Б. Ответ дайте в км/ч.22.03.20167
Задачи на движение.Х км/ч60 км/ч660км34+3
1.1. Движение навстречу22.03.20169{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} СкоростьВремяРасстояние1 поезд60км/ч(4+3)ч420км660км2 поезд Х км/ч3ч3х км420 + 3х = 660 1. 660 – 420 = 240 (км) 3х = 660 – 420 2. 240 : 3 = 80 (км/ч)3х = 240Х= 80 (км/ч) Ответ 80 км/ч
1.1. Движение навстречу2. Два автомобиля выезжают навстречу друг другу их двух пунктов, расстояние между которыми 400 км. Если первый выедет на 5 часов раньше второго, то они встретятся через 5 часов после выезда второго. Если второй выедет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого через 6 часов после своего выезда. Найдите скорости автомобилей.22.03.201610
1.1. Движение навстречу2. Два автомобиля выезжают навстречу друг другу их двух пунктов, расстояние между которыми 400 км. Если первый выедет на 5 часов раньше второго, то они встретятся через 5 часов после выезда второго. Если второй выедет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого через 6 часов после своего выезда. Найдите скорости автомобилей Ответ: 10км/ч и 60 км/ч22.03.201611
1.2. Движение вдогонку1. Два пешехода отправляются одновременно из одного и того же места на прогулку по алее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300м?22.03.201612
1. Два пешехода отправляются одновременно из одного и того же места на прогулку по алее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300м?300м = 0,3 кмВремя в часах находим по формуле: 𝑡=𝑠𝑣 t = 0,31,5=315=0,2ч𝑡=210=15ч=60∙15=12 (мин) Ответ: 12 мин. 22.03.201613
1.2. Движение вдогонку№ 26578 Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.22.03.201614
Ответ: 32 км/ч22.03.201615№ 26578 Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч
1.3.Движение с задержкой22.03.2016161. Поезд вышел со станции А по направлению к станции В. Пройдя 420 км, что составляет 60% всего пути АВ, поезд остановился из-за снежного заноса. Через полчаса путь был расчищен, и машинист, увеличив скорость на 10 км/ч привёл его на станцию В без опоздания. Найдите скорость поезда, с которой он прибыл на станцию В.
1. Поезд вышел со станции А по направлению к станции В. Пройдя 420 км, что составляет 60% всего пути АВ, поезд остановился из-за снежного заноса. Через полчаса путь был расчищен, и машинист, увеличив скорость на 10 км/ч привёл его на станцию В без опоздания. Найдите скорость поезда, с которой он прибыл на станцию В. Ответ: 80 км/ч22.03.201617
1.4. Движение по окружности 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 80км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второго автомобилиста ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.22.03.201618
1. Из одной точки круговой трассы, длина которой 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 80км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второго автомобилиста ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобилиста. Ответ дайте в км/ч𝑡=𝑆𝑣1−𝑣2 (𝑣1>𝑣2) Ответ: 59 км/ч 19
1.5. Движение по воде 1. Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трёхчасовой стоянки вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов .Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.22.03.201620
1. Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трёхчасовой стоянки вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов .Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.22.03.201621Пусть х км/ч – скорость лодки в неподвижной воде80х+2+80х−2=12−3 Ответ: 18км/ч {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} СкоростьВремяПутьПо течениюх+2 (км/ч)80х+2ч80 кмПротив течениях-2 (км/ч)80х−2ч80 км{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} СкоростьВремяПутьПо течениюх+2 (км/ч)80 кмПротив течениях-2 (км/ч)80 км
1.5. Движение по воде2. Теплоход плывёт из А в В двое суток, из В в А трое суток. Сколько суток плывет из А в В плот?Решение: если S – путь из А в В х – собственная скорость теплохода у – скорость течения реки, то время движения плота равно S/у Т.к. S = (х+у)·2 и S = (х-у)·3 составим уравнение: 2х+2у = 3х-3у -х = -5у; х = 5у Значит S = 2х+2у = 2·5у+2у = 12у Тогда S/у = 12у : у = 12 Ответ: 12 суток22.03.201622
1.6. Задачи на среднюю скорость 1. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12км/ч, вторую треть – со скоростью-16км/ч, а последнюю треть – со скоростью24км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.22.03.201623
1. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12км/ч, вторую треть – со скоростью-16км/ч, а последнюю треть – со скоростью24км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.Обозначим длину всей трассы 3S. Тогда 𝑡1=𝑆12ч, 𝑡2=𝑆16ч, 𝑡3=𝑆24ч.То 𝑡=𝑡1+𝑡2+𝑡3=𝑆12+𝑆16+𝑆24=9𝑆48.𝑣ср=весь путьвсё время=3𝑆:9𝑆48=16(кмч) Ответ:16км/ч 22.03.201624
1.7. Задачи на движение протяжённых тел1. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120м, второй длиной 80м. Второй сухогруз отстаёт от первого на 400 м, но уже через 12 минут опережает первый на 600м. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?22.03.2016Ё1ЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁЁ25
1. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120м, второй длиной 80м. Второй сухогруз отстаёт от первого на 400 м, но уже через 12 минут опережает первый на 600м. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х м/мин, равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй проходит расстояние S=400+80+120+600= 1200(м) Поэтому 𝑥=120012=100ммин 𝑥= 100∙601000=6(кмч) Ответ 6км/ч. 22.03.201626
2. Задачи на работу А = рt, из этой формулы легко найти р (производительность) или t. Если объем работы не важен и нет никаких данных, позволяющих его найти – работу принимаем за единицу. Если трудятся два рабочих (два экскаватора и т.д.) – их производительности складываются. В качестве переменной удобно взять производительность22.03.201627
2. Ключевая задача на работуПервый мастер может выполнить работу за а часов, а второй за b часов. За какое время оба мастера работая вместе выполнят эту работу?Решение: Поскольку объём работы не задан, его принимаем равным 1. Тогда первый мастер за час выполняет работу равную 1а, второй - 1𝑏, а оба мастера 1а+1𝑏. Значит всю работу они выполнят за 𝑡=11а+1𝑏. Ответ: 𝑡=11а+1𝑏 22.03.201628
2.1. Задачи на работу1. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один их них приступил к выполнению заказа. К нему присоединился другой рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?22.03.201629
1. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один их них приступил к выполнению заказа. К нему присоединился другой рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?За 3часа первый рабочий выполнил 315 всей работы, тогда 1−315=1215=45 оставшаяся часть работы, которую рабочие выполнили вместе т.е с производительностью 215. А значит потратили на это 45:215=4∙155∙2=6(ч)Значит, время затраченное на выполнение всего заказа, составит 3+6=9 часов. Ответ: 9 часов. 22.03.201630
3. Задачи на смеси и сплавы3.1. Найдите концентрацию кислоты, полученной при смешивании 30кг её 80% и 20кг её 60% растворов. Ответ выразите в процентах. Ответ: 72%22.03.201631
3. Задачи на смеси и сплавы3.2. Виноград содержит 91% влаги, а изюм- 7%. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 21кг изюма? Ответ: 217кг22.03.201632
3. Задачи на смеси и сплавы3.3. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получили 36% раствор этой кислоты. Если бы вместо 10кг воды добавили 10кг 50% раствора той же кислоты, то получили 41% раствор кислоты. Сколько кг 30% раствора использовали для получения смеси? Ответ: 60кг22.03.2016
4. Задачи на проценты. 1. Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки?Решение:Обозначим через х-стоимость одной рубашки, через у- стоимость одной куртки. Из условия задачи следует, что 5х=0,75у. Откуда х=0,15у. Тогда 7х=0,15у 7=1,05у.Значит стоимость рубашки больше стоимости куртки на 5 сотых, т.е. семь рубашек дороже куртки на 5% Ответ: 5%22.03.201634
22.03.201635Сложности при решении текстовых задачсоставление математической моделисоставление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводят учащиеся нахождение соответствия между различными величинами, применительно к которым формулируется вопрос задачирешение уравнений, системы уравнений или неравенств
22.03.201636Сложности при решении текстовых задач и пути их решения.Составление математической модели непонимание физических, химических, экономических терминов, законов, зависимостинепонимание связи между расстоянием, скоростью и временем при равномерном движении или между работой, производительностью труда и временем и т.п.затруднения в определении скорости сближения объектов при движении навстречу, в одном направлении илипри движении по окружностиТщательно изучить и правильно истолковать содержание задачи, выразив искомые величины через известные величины ивведенные переменные.Не зацикливаться на периодичности маршрута при движении по окружности, а мыслить только в категориях время, путь, скорость.
22.03.201637Сложности при решении текстовых задач и пути их решения.2. Составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводят учащиесянеправильный выбор величин, относительно которых составляется уравнениеусложнение процесса составления уравнения из-за неправильного выбора величинВажно правильно выбрать величины, относительно которых будет составлено уравнение. Неправильный выбор делает процесс составления уравнения более сложным.
22.03.201638Сложности при решении текстовых задач и пути их решения. 3. Нахождение соответствия между различными величинами, применительно к которым формулируется вопрос задачиневозможность нахождения значения переменных, которые в уравнениях присутствуют и не являются необходимымибольшое количество неизвестных, нахождение значения которых не являются необходимымиДержать в поле зрения основную цель, не боясь вводить столько вспомогательных переменных, сколько их понадобится по ходу решения. Совсем необязательно ставить в качестве непременного условия сведение числа неизвестных к минимуму.
22.03.201639Сложности при решении текстовых задач и пути их решения.4. Решение уравнений, системы уравнений или неравенств невозможность решения уравнения, неравенства или их системырешение уравнения, неравенства или их системы нерациональным способомРешение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным методом.
ВыводыДля того, чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения путем многократного повторения операций, действий, составляющих предмет изучения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Помощь учителя не должна быть чрезмерной, но и не быть слишком малойНавыки решения текстовых задач формируются на основе осмысленных знаний и уменийДля формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач «от простого к сложному». Знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением каждой новой задачи Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени. Следует учитывать индивидуальные особенности и возможности учащихся.22.03.201640
22.03.201641