Презентация к исследовательской работе Золотое сечение и числа Фибоначчи

Золотое сечение и числа ФибоначчиУчебно-практическая конференция гимназии ДГТУ «От идеи до воплощения»Секция: математики и информатики «Всезнайка»Автор: Молодцов Дмитрий Ученик 7 «А» класса МБОУ лицея № 51 им. Б.В. КапустинаРуководитель: учитель математики Овчар Л.Л. Золотое сечение в изобразительном искусстве Золотое сечение вАрхитектуре Золотое сечение и числа ФибоначчиПредметы исследования – золотое сечение и числа Фибоначчи.Объект исследования – взаимосвязи между золотым сечением и числами Фибоначчи.Цель: Установить взаимосвязи между золотым сечением и числами Фибоначчи.Задачи: изучить исторический, математический аспекты понятия золотого сечения и последовательности Фибоначчи; выявить и проанализировать свойства золотого сечения и последовательности Фибоначчи.Методы исследования: анализ и обобщение. Геометрический аспект и история возникновения «золотого сечения»Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Алгебраический аспект «золотого сечения»Значение числа Ф.Х1 = 1Х−1х•(х —1) = 1•1 ⇒ х2 —х = 1, х2-х-1 = 0. (1) Это и есть искомое число, которое мы обозначим Ф:  {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1Х - 1 Х Свойства золотого сеченияРазделим единицу на Ф. Получим число 0,61803 Оказывается, что 1/Ф = Ф — 1.Возведем наше число в квадрат (Ф2). С учетом приближенного значения получаем, что Ф2 = Ф + 1 Свойства золотого сеченияФ является решением уравнения:Х2 — X — 1 = 0. (1)с приближенным значениемФ2 -Ф-1= 0 ⇒ Ф2 =Ф +1 (2) Начиная с уравнения (2), несколько раз умножим обе части на Ф и получим: (3)  Свойства золотого сеченияЛюбая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. Используя выражения (2) и (3) находимФ𝟑=Ф𝟐+Ф=Ф+1+Ф=2Ф+1Ф𝟒=Ф𝟑+Ф𝟐=(2Ф+1)+(Ф+1)=3Ф+2Ф𝟓=Ф𝟒+Ф𝟑=(3Ф+2)+(2Ф+1)=5Ф+3 (4)Ф𝟔=Ф𝟓+Ф𝟒=8Ф+5Ф𝟕=Ф𝟔+Ф𝟓=13Ф+8Ф𝟖=Ф𝟕+Ф𝟔=21Ф+13…  Последовательность Фибоначчи Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …a1=1,a2=1;an=an-1+an-2(n≥2)Отношение последующего к предыдущему даёт значение приближенное к Ф.1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5;Леонардо Пизанский (Фибоначчи) 1170-1250г.Ф = 1,6180339887…5/3 = 1,(6) связь между последовательностью Фибоначчи и золотым сечениемОтношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи an /an-1 приближаются к значению Ф. связь между последовательностью Фибоначчи и золотым сечениемФ𝟑=2Ф+1Ф𝟒=3Ф+2Ф𝟓=5Ф+3 (4)Ф𝟔=8Ф+5Ф𝟕=13Ф+8Ф𝟖=21Ф+13…….коэффициенты в правых частях этих выражений являются последовательными членами последовательности Фибоначчи  Выводы: Цель работы достигнута: установлены взаимосвязи между золотым сечением и числами Фибоначчи:-первое: an /an-1 - отношение последующего к предыдущему членов последовательности Фибоначчи дают приближённое значение Ф. -второе: Фn = anФ+an-1 , где Ф – золотое сечение, an – n-ый член последовательности Фибоначчи;