Презентация по математике на тему Тригонометрические функции числового аргумента. Синус, косинус, тангенс и катангенс (повторение)
Тригонометрические функции числового аргументаСинус, косинус, тангенс и котангенс (повторение)
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Радианная мераВы уже знакомы с радианной мерой углов. Угол в 1 радиан ‒ это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (рис 1).Рис. 1Радианная и градусная мера связаны зависимостью 180°=𝜋 радиан; угол в 𝑛° равен 𝜋𝑛180 радиан.При радианном измерении углов упрощается ряд формул. Так для окружности радиуса 𝑟 длина 𝑙 её дуги в 𝑎 радиан находится по формуле(1)площадь 𝑆 сектора круга радиуса 𝑟, которого содержит 𝑎 радиан, такова:(2)Формулы (1) и (2) проще аналогичных формул 𝑙=𝜋𝑛𝑟180 и 𝑆=𝜋𝑟2𝑛360 для вычисления длины окружности и площади сектора, дуги которых (величиной 𝑛°) заданы в градусной мере. Наличие у радианной меры ряда преимуществ привело к тому, что в тригонометрии предпочитают пользоваться радианной, а не градусной мерой.Из курса алгебры вы знаете, как определяется поворот на угол в 𝑎 радиан, где 𝑎 ‒ произвольное действительное число. Знакомы вам и определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса 𝑎 (𝑎 ‒ угол или число).⃝ П р и м е р 1. Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла 𝜋3.В прямоугольном треугольнике с углом в 30° противолежащий ему катет равен половине гипотенузы 𝑐 (рис. 2). Так как 𝑐=1, находимРис. 2 Рис. 3Поэтому cos𝜋3=𝑎𝑐=12, sin𝜋3=𝑏𝑐=32, tan𝜋3=𝑏𝑎=3, cot𝜋3=𝑎𝑏=13.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
Радианная мера (продолжение)Вообще значения основных тригонометрических функций угла 𝑎 могут быть найдены так, как это делалось в курсе геометрии (рис. 3): cos𝑎=𝑏𝑐, sin𝑎=𝑎𝑐, tan𝑎=𝑎𝑏, cot𝑎=𝑏𝑎.Приближённые значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла находятся с помощью калькулятора или таблиц. (Здесь и далее имеются ввиду «Четырёхзначные математические таблицы» В. М. Брадиса).Задача нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла путём применения известных вам формул сводится к нахождению значений sin𝑎, cos𝑎, tan𝑎, cot𝑎 где 0≤𝑎≤𝜋2. Так, например, может быть выполнена следующая таблица: {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}𝒂0𝝅𝟔𝝅𝟒𝝅𝟑𝝅𝟐𝟐𝝅𝟑𝟑𝝅𝟒𝟓𝝅𝟔𝝅𝟕𝝅𝟔𝟓𝝅𝟒𝟒𝝅𝟑𝟑𝝅𝟐𝟓𝝅𝟑𝟕𝝅𝟒𝟏𝟏𝝅𝟔𝟐𝝅sin𝑎012223213222120−12−22−32−1−32−22−120cos𝑎13222120−12−22−32−1−32−22−1201222321tan𝑎01313−−3−1−1301313−−3−1−130cot𝑎−31130−13−1−3−31130−13−1−3−{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}011
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
Основные формулы тригонометрииИз определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса сразу следуют основные тригонометрические тождества:Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения:Из формул сложения, полагая 𝛽=𝜋𝑛2, где 𝑛∈𝒁, получаем формулы приведения для преобразования выражений вида sin𝜋𝑛2±𝑎, cos𝜋𝑛2±𝑎, tan𝜋𝑛2±𝑎, cot𝜋𝑛2±𝑎, 𝑛∈𝒁.Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким мнемоническим правилом:а) перед приведённой функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (рис. 4), если 0<𝑎<𝜋2;б) функция меняется на «кофункцию», если 𝑛 нечётно, функция не меняется, если 𝑛 чётно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно синус, косинус, тангенс и котангенс).Рис. 4Например:Вам известны также формулы суммы и разности синусов (косинусов):Из формул сложения, полагая 𝑎=𝛽, выводятся формулы двойного аргумента:
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Основные формулы тригонометрии (продолжение)Подставляя в формулы cos2𝑡=1−sin²𝑡 и cos2𝑡=2cos²𝑡−1 значение 𝑡=𝑎2, получаем формулы половинного аргумента:(3)(4)⃝ П р и м е р 2. Найдём значение sin𝜋12 без помощи таблиц по формуле (3):Так как 0<𝜋12<𝜋2, sin𝜋12>0, получаем sin𝜋12=2−32. Ответ можно упростить:Разделив почленно равенства (3) и (4), получаем:(5)Умножая числитель и знаменатель первой части равенства tan𝑎2=sin𝑎2cos𝑎2 на 2cos𝑎2, находим:(6)Аналогично, умножая числитель и знаменатель первой части равенства tan𝑎2=sin𝑎2cos𝑎2 на 2sin𝑎2, приходим к формуле(7)⃝ П р и м е р 3. Найдём значение tan5𝜋8 без помощи таблиц. tan²5𝜋8=1−cos5𝜋41+cos5𝜋4=1+221−22=2+12−1=2+1²2−1=2−1².Заметим, что 𝜋2<5𝜋8<𝜋. Поэтому tan5𝜋8<0, и, следовательно tan5𝜋8=−2+1.⃝ П р и м е р 4. Найдём sin𝑎2, cos𝑎2, tan𝑎2, если известно, что cos𝑎=0,8 и 0<𝑎<𝜋2.Угол 𝑎2 находится в первой четверти, и, значит, sin𝑎2>0, cos𝑎2>0, tan𝑎2>0.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Основные формулы тригонометрии (продолжение)Поэтому
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y