Презентация по математике на тему Метод координат в пространстве

Метод координатв пространстве
Разложение вектора по трём некомпланарным векторамЛюбой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а = хi + уj + zk ,причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.Коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по координатным векторам называются координатами вектора а в данной системе координат.

Координаты векторaрixyA(x; y; z)11р {х; у; z}0 {0; 0; 0}1kр = хi + уj + zkjz0 = 0i + 0j + 0k






Действия над векторамиКаждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.а {х1; у1; z1}b {х2; у2; z2} а + b { х1 + x2; у1 + y2 ; z1 + z2}Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. а – b { х1 – x2; у1 – y2 ; z1 – z2}


Действия над векторамиКаждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.а {х1; у1; z1}kа { kх1; kу1 ; kz1}

Примеры а {3; -7; 2}b {-5; 4; 1}Дано:Найти:р = 3а – 2bРешение:3а {9; -21; 6}-2b {10; -8; -2}р {19; -29; 4}+q = -5а + 6b-5а {-15; 35; -10}6b {-30; 24; 6}q {-45; 59; -4}+








Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаАВOA(x1; y1; z1)В(x2; y2; z2)АВ {х2 – x1; у2 – y1; z2 – z1}OВ {х2; у2; z2}OA {х1; у1; z1}–АВ = AO + OB = – OA + OB = ОВ – ОА






Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.Примеры А(5; 3; –4), В(–2; 4; 1)АВ {–2 – 5; 4 – 3; 1–(–4)}АВ {–7; 1; 5}M(–3; 8; 2), N(0; –6; 5)MN {0 – (–3); –6 – 8; 5 – 2}MN {3; –14; 3}



Координаты середины отрезкаМA(x1; y1; z1)В(x2; y2; z2)Сх1 + х22x =y1 + y22y =z1 + z22z =O










Длина вектораOxyA(x; y; z)а = √ x2 + y2 + z2аz


Расстояние между двумя точкамиA(x1; y1; z1)В(x2; y2; z2)│АВ│= √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2АВ = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2



Угол между векторамиabОАВα (a; b) = (ОА; ОВ) = α






Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.a ∙ b = │a│∙│b│cos (a; b)Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.a ∙ b = 0  a  b

Скалярное произведение векторовСкалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.a ∙ a = a2 = |a|2 a b = x1x2 + y1 y2 + z1z2Скалярное произведение векторов a{x1; y1; z1} и b{x2; y2; z2} выражается формулой

Скалярное произведение векторов x1x2 + y1 y2 + z1z2cos α = √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22α = arccos x1x2 + y1 y2 + z1z2 √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22Косинус угла α между ненулевыми векторами a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2} вычисляется по формуле

Свойства скалярного произведения векторовa 2 ≥ 0, причем a 2 > 0 при а ≠ 0.Для любых векторов a, b, c и любого числа k справедливы равенства:a b = b a (переместительный закон).( a + b ) c = a c + b c (распределительный закон).k ( a b ) = ( ka ) b (сочетательный закон).


Угол между прямыми │x1x2 + y1 y2 + z1z2│cos φ = √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22Пусть p {x1; y1; z1} и q {x2; y2; z2} – направляющие векторы прямых a и b. Косинус угла φ вычисляется по формуле: φ = arccos │x1x2 + y1 y2 + z1z2│ √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22