Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Миноры и алгебраические дополнения» — урок 5-ый. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.

Тема 1.1.Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 5 УРОК ПЯТЫЙ Миноры и алгебраические дополнения. ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33 Пусть detA = Минором любого элемента этого определителя называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент. Обозначается Мij , где i – номер строки, j – номер столбца. тогда а12 а13 а22 а23 а11 а13a21 а23 М31 = а11 а13а31 а33 М32 = М22 = а12 а13 а22 а23 Основное понятие минора Задание.Задан определитель А. Найти минор M23 к элементу a23 определителя Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец: Тогда ОТВЕТ: detA = Рассмотрим пример 1 А ij = ( -1) i + j М ij Алгебраическое дополнение элемента аij данного определителя называют минор этого же элемента, взятый со знаком (-1) , где i,j –номера соответственно строки и столбца, на пересечение которых находится элемент. i + j а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33 Пусть задан detA = тогда Обозначается Аij , где i – номер строки, j – номер столбца и задаётся формулой (1) (1) где Мij – минор этого же элемента Алгебраическое дополнение Решение.       Ответ: Задание.Найти алгебраическое дополнение А23 к элементу а23 1 Рассмотрим пример 2 ТЕОРЕМА Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33 Пусть задан detA = , тогда det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ПРИМЕЧАНИЕОбычно выбирают ту строку или столбец, в котором есть нули. ( 2) Теорема о вычислении определителя Разложение определителя по строке а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33 Пусть задан detA = , тогда det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 (2) = а11 (-1) а22 а23а32 а33 1+1 А11 + + а12 (-1) 1+2 a21 а23а31 а33 А12 + а13 (-1) 1+3 a21 а22 а31 а32 А13 Разложение определителя по столбцу а11 а12 а13a21 а22 а23а31 а32 а33 Пусть задан detA = , тогда det A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 (2) = а11 (-1) а22 а23а32 а33 1+1 А11 + + а21 (-1) 2+1 a12 а13а32 а33 А21 + а31 (-1) 1+3 a12 а13 а22 а23 А31 Задание.Вычислить определитель, разложив его по первой строке Решение. Ответ: Рассмотрим пример 3 Заметим, что понятие минора применяется и по отношению к матрице. Это определитель любой квадратной подматрицы для данной. Пусть дана матрица А . 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = Определителя у этой матрицы нет, т.к. она не квадратная, но для нее можно составить очень много миноров 3 х 4 Рассмотрим их 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 Примечание Миноры 3-го порядка матрицы А 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 Образуются с помощью вычеркивания любого из столбца 7 -1 0 2 3 8 4 6 7 9 0 2 -2 8 4 5 7 -1 9 2 3 -2 4 6 5 -1 9 0 3 -2 8 6 5 М3 = 1 М3 = 2 М3 = 3 М3 = 4 Миноры 2-го порядка матрицы А Миноры 1-го порядка матрицы А 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 Вывод. Минор – это определитель любой квадратной подматрицы для данной. М2 = 1 7 0 2 М2 = 2 3 4 6 М2 = 3 9 8 5 Миноров 2-го порядка этой матрицы А по количеству будет еще больше. М1 = 1 1 М1 = 4 2 М1 = 5 4 М1 = -2 3 = 1 = -2 = 4 = 5 Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.