Вычисление площади криволинейной трапеции. Алгебра и начала мат. анализа. 11 кл

ГБОУ средняя общеобразовательная школа с.Надеждино Учитель математики – Романова Т.А. Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f , осью Ох и прямыми х = а, х = b . Изображения криволинейных трапеций: . Благодаря этим знаниям математики в былые времена могли вычислить площадь любой фигуры, например, площадь вашего тела, Математический анализ вообще разработан во  времена, когда компьютеров еще не было и, соответственно, площадь под любой кривой подсчитать было невозможно, только под той, у которой находится первообразная в виде аналитической функции. Сейчас эту площадь можно посчитать с хорошей степенью точности, используя методы математических вычислений, но это не освобождает от знаний основ математического анализа, на основании которых эти методы строятся. х у y = f(х) a b 0 1 x y y = f(x) b a 0 3 x y b a 0 y = f1(x) y = f2(x) 2 x y c b 0 a y = f1(x) y = f2(x) 4 y = f(x) x b a y 0 5 y 0 a b x y = f1(x) 6 y = f2(x) Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е. Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную наотрезке [a; b] . Если a < x ≤ b , то S( x ) – площадь той частикриволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальнойпрямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а) Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадькриволинейной трапеции ) .Нам осталось доказать , что S' ( x ) = f ( x ) (2) По определению производной докажем, что ΔS(x) → f ( x ) (3) Δ x при Δ x →0 Выясним геометрический смысл числителя ΔS ( x) . Для простотырассмотрим случай Δ x > 0 . Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x),то ΔS ( x) – площадь фигуры , заштрихованной на рисунке 2, б.Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно. Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтомув силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих промежутку [ a ; b ] . имеем : S ( x ) = F (x) + C , где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных для функции F . Для нахождения C подставим х = а : F ( a ) + C = S ( a ) = 0, откуда C = - F (a ) . Следовательно , S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4)Поскольку площадь криволинейной трапецииравна S ( b ) , подставляя x = b в формулу ( 4 ) , получим: S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ). О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границейгде функция (х) непрерывна (рис. 17.1). Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок [а, b] точками на элементарных отрезков Обозначим выберем произвольные точки и построим ступенчатую фигуру из прямоугольников с высотами и основаниями Площадь ступенчатой фигуры и дает приближенное значение площади криволинейной трапеции. За точное значение площади естественно принять Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - хІи у=0Решение:1. Построим криволинейную трапецию:у = 4 - хІ- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз.у = 0 - ось абсцисс.2. Найдём [а; b]:4-хІ = 0; хІ = 4х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 23. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а) S=F(2)-F(-2)=10,(6). Для непрерывной функциигде F(x) – первообразная функции f(x). Какая трапеция называется криволинейной ? (определение вместе с рисунком). Может ли быть функция f отрицательной на отрезке [a; b]? Почему?Определение первообразной.Правила нахождения первообразных. Если f – … на отрезке [a; b] функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна … ? Чему? № 2 F(x) = x2 + 4x + С – общий вид первообразных функции f.Найдем С:1 способЕсли х = 1, то F(1) = 9, А (1; 9) – точка касания т.е. F(1) = 1 + 4 +С = 9. 5 + С = 9, С = 4 Найти первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой проходит через точку А(1,9) Решение № 345 № 3 РешениеF(x) = x2 + 4x + c – общий вид первообразных функции f.Найдем с:1 способТ.к. график функции F касается прямой у = 6х + 3, то по геометрическому смыслу производной F ’(x) = k, F ‘(x) = 6, 2x + 4 = 6, x = 1. Если х = 1, то у = 6 + 3 = 9. А (1; 9) – точка касания.Т.к. парабола проходит через т.А, то F(1) = 9F(1) = 1 + 4 + c = 5 + c, 5 + c = 9, c = 42 способТ.к. парабола и касательная имеют только одну общую точку, то уравнение x2 + 4x + c = 6х + 3 имеет единственный корень (D = 0), тогдаx2 – 2x + c – 3 = 0D1 = 1 – c + 3 = - с + 4, - с + 4 = 0, с = 4Следовательно, F(x) = x2 + 4x + 4 а) Найти первообразную функции f(x) = 2x + 4, график которой касается прямой у = 6х + 3. б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = 6х + 3, у = 0. Построим графики функций y = x2 + 4x + 4, у = 6х + 3 и y = 0 в одной системе координат. Найдем абсциссу точки С из уравнения: - пределы интегрирования х у А - 2 0 1 М В у = 6х + 3 y = (x + 2)2 С № 4 РешениеНайдем уравнение касательных к графику функции f(x) = - x2 + 4x – 3 в точках х = 0 и х = 3.y = f(x0) + f ‘(x0)(x – x0) – уравнение касательной в общем виде Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = - х2 + 4х – 3 и касательными к ней в точках с абсциссами х = 0 и х = 3. x0 = 01) f(0) = - 32) f ‘(x) = - 2x + 43) f ‘(0) = 44) y = - 3 + 4(x – 0) y = 4x – 3 x0 = 31) f(3) = - 9 + 12 – 3 = 02) f ‘(3) = - 23) y = - 2(x – 3) y = - 2x + 6 Построим графики функций у = - х2 + 4х – 3, y = 4x – 3, y = - 2x + 6 в одной системе координат:у = - х2 + 4х – 3 – графиком является парабола. (2; 1) – вершина параболы Найдем абсциссу точки В из уравнения: - пределы интегрирования K B х N y 0 1 2 M y = - 2x + 6 y = 4x - 3 у = - х2 + 4х – 3 3 № 5 № 6 № 7 Вычислить: 1 способНа [-2; 2], |x – 2| = - x + 2На (2; 3], |x – 2| = x - 2 Решение x 3 2 - 2 2 способ x C D N y 4 B 1 2 0 3 - 2 A y = |x – 2| Т.к. функция у = |х - 2| непрерывна и неотрицательна на [- 2; 3 ], то по геометрическому смыслу интеграла: