Презентация на тему Дробно-линейная функция и ее график

Пугачева АнастасияУченица 9 «Б» классаМБОУ « Вознесенская СОШ №2» Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков дробно-линейной. Задачи: 1. сформировать понятия дробно-линейной функций на основе теоретического материала по данной теме; 2. найти методы построения графиков дробно-линейной функции; 3. показать, как можно использовать, полученные знания на практике . ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функцию, заданную формулой вида у=(ах+b)/(сх+d), где х - переменная, а, b, c и d- заданные числа, при с≠0, bc-ad≠0 называется ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ. Графиком дробно-линейной функции является гипербола ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ВЫДЕЛЯЕМ ИЗ ДРОБИ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬОПРЕДЕЛЯЕМ АСИМПТОТЫСТРОИМ ГРАФИК у = к/х НА АСИМПТОТАХ КАК НА ОСЯХ ЗАДАНИЕ: Построить график функции у = (2х-3)/(х-1)Выделим целую часть: (2х-3)/(х-1)=(2х-2-1)/(х-1)=2-1/(х-1) Получаем функцию вида у= -1/(х-1) + 2Асимптотами являются прямые х = 1 и у =2Строим асимптоты, а затем на них как на осях построим график функции у= -1/х График на следующем слайде Рассмотрим еще один способ построения графика функции у = (х+4)/(х+2) Для этого найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Предположим, х=0 и определим точку пересечения с осью ординат у = 2. Теперь предположим, у = 0, получим уравнение 0=х+4 и найдем точку пересечения с осью абсцисс х = -4. Построим точки А(0;2) и В(-4;0).Определим асимптоты графика функции. Вертикальную асимптоту находим из условия, что функция не определена, т.е. х+2=0, откуда х=-2. Поведение функции при больших значениях х (|х|→∞) определяет горизонтальную асимптоту. При таких значениях х в числители дроби можно пренебречь числом 4, в знаменателе числом 2. Тогда получаем горизонтальную асимптоту у = 1. Построим асимптоты графика х = -2 и у = 1.При построении графика функции учтем:Ветви графика симметричны относительно точки Е пересечения асимптот;График функции не пересекает асимптоты. Раскроем знаки модуля и Получим: (х+2)/(х+4), х < -3 у= -(х+2)/(х+2), -3≤х≤0 (х-2)/(х+2), х > 0 Построим графики полученных функций: на промежутке(-∞;-3) гиперболу у=(х+2)/(х+4);На отрезке [-3;0] прямую у=-(х+2)/(х+2), учитывая что в точке х=-2 функция не существует;На промежутке (-3;∞) гиперболу у=(х-2)/(х+2). При каком значении параметра а прямая у = ах +1 касается графика функции у = (х-1)/(х+1) ? Найти координаты точки касания. Изобразить графически. Мы уже знаем, что графиком функции у =(х-1)/(х+1) - является гипербола с вертикальной асимптотой х=-1 и горизонтальной асимптотой у=1. Графиком функции у = ах+1 является прямая. Координаты точки касания должны удовлетворять системе уравнений у= ах+1 (х-1)/(х+1)При этом система должна иметь единственное решение. Постройте график функции у = (х-1)/(√хІ-х)І и найдите все значения k, при которых прямая у = kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку. Найдем область определения данной функциих2– х>0 или х(х – 1)>0Откуда получаем x<0 и х>1.Преобразуем функцию .(х-1)/(√хІ-х)І=(х-1)/(х·( х-1))=1/хЗначит наша функция на своей ООФ принимает вид у= 1/х. Прямая у=kх имеет с графиком данной функции одну общую точку при k≥1.Это задание из второй части, за правильное решение, которого можно получить максимальный балл(4 балла). Постройте график функции у = |х|(х-4) +1 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки. ООФ являются все действительные числа.Раскроем знак модуля: у = хІ-4х+1, если х≥0 -хІ+4х+1, если х≤0  Графиком каждой из этих функций является парабола.Находим координаты вершин парабол, нули функций и точки пересечения с осью у. По этим характерным точкам строим график полученной функции, учитывая знаки модуля. По графику видно, что прямая у=m, имеет ровно три общие точки, при mє (-3;1) Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = 2х+3|х-1|- 4|х+2|-1 Рассмотрим еще одну задачу из второй части, которая также оценивается максимальным баллом:Найдем нули функции: х-1=0, и следовательно х=1; х+2=0, и следовательно х=-2.Раскроем знаки модуля на каждом промежутке:При х≤-2 получаем у = 2х -3(х-1) +4(х+2)-1=3х+10 – функция возрастает;При -2≤х≤1 получаем у = 2х-3(х-1) – 4(х+2) -1= -5х-6 – функция убывает;При х≥1 получаем у = 2х+ 3(х-1) – 4(х+2) -1= х -12 – функция возрастает.Ответ: функция возрастает на промежутках (-∞;-2] и [1;∞), функция убывает на промежутке [-2;1]. Ещё один приём построения графиков График функции y=1/x можно построить несколько иначе. Нарисуем график функции у=x. Заменим каждую ординату величиной, ей обратной, и отметим соответствующие точки на рисунке. Получим график у=1/x.Нарисованная картина показывает, как маленькая (по абсолютной величине) ордината первого графика превращается в большие ординаты второго и, наоборот - большие ординаты первого в маленькие ординаты второго. Точки с ординатами, равными 1 и (- 1), остаются на месте.Этот приём "деления" графиков бывает полезен всегда, когда у нас есть график у=f(x), а нам нужно понять, как ведёт себя функция y=1/f(x). Заключение При выполнении реферативной работы:- уточнила свои понятия дробно-линейной функций и выяснила, что является графиком этой функции:Определение 1.Дробно-линейная функция – это функция вида у=(ах+b)/(сх+d), где х – переменная, a, b, c, и d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0.- сформировала алгоритм построения графиков этих функций;-рассмотрела несколько методов построения графиков;- научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; - произвела разбор типовых заданий из второй части экзаменационных работ; - приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере; - научилась составлять проблемно – реферативную работу.