Образовательный материал

Выполнили учащиеся 8В класса МАОУ – лицей № 13 п. Краснообск, 2014 Руководитель Черемисина Г. А. Теорема Пифагора Проект в рамках СДО «Телешкола» • Рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы• Сравнить способы доказательства Изучить область применения теоремы• Сделать выводы о значении теоремы Пифагора Цель проекта Ознакомиться с историей открытия теоремы Рогутенок А. Пифагор Самосский Умер: 495 г. до н.э., Метапонт, Италия Родился: 570 г. до н.э., Самос, Греция. Пифагор – древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Понамарева П. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон. В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа»,сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Шабурова А. Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Частные случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам еще до Пифагора. Например, в своей строительной практике египтяне пользовались так называемым «египетским треугольником» со сторонами 3, 4 и 5. Египтяне знали, что указанный треугольник является прямоугольным и для него выполняется соотношение: , т. е. как раз то, что утверждает теорема Пифагора. Рогутенок А. Шабурова А. Древние египтяне пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Рогутенок А. Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых на каждом шагу при изучении геометрических вопросов. Ее и сейчас знают практически все, кто когда-либо изучал планиметрию. Если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры. Если эту информацию смогут принять мыслящие существа, то они без сложной дешифровки сигнала поймут, что на Земле существует достаточно развитая цивилизация. Шабурова А. Частные случаи этой теоремы были известны также китайцам и индийцам. Трудно указать время, когда эти народы впервые стали пользоваться «пифагоровым» соотношением. Но достоверно, что теоремой Пифагора китайцы и индийцы пользовались издавна. В древнем Китае теорему Пифагора стали применять около 2200 лет до новой эры. Рогутенок А. Рогутенок А. В знаменитом трактате «Математика в девяти книгах», составление которого относится к началу новой эры, теорема о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике использовалась подвидом правила «Гоу-гу». Согласно этому правилу, древние китайцы по известной гипотенузе и одному катету находили другой, неизвестный катет, а также гипотенузу, если были известны оба катета. Термины «гоу» и «гу» обозначают катеты прямоугольного треугольника, причем «гоу» — горизонтальный, обычно меньший катет, а «гу» — вертикальный и обычно больший катет. В буквальном переводе «гоу» означает крюк, «гу» — ребро, связка. Индийским ученым теорема Пифагора стала известна не позднее VIII века до новой эры. В самом старом памятнике индийской геометрии «Сулва-сутрах» (VII до н. э.) эта теорема формулировалась так: «Веревка, проведенная наискось в продольном квадрате [прямоугольнике] образует то же, что образует вместе каждая из мер: продольных и поперечных». Эта же теорема в виде краткого правила излагалась еще и так: «То, что образуется на двух сторонах, равно тому, что образуется по диагонали». Рогутенок А. Доказательство самого Пифагора своей знаменитой теоремы до нас не дошло. Историки полагают, что первоначальное доказательство теоремы Пифагора относилось к частному случаю, т. е. к рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника, как это делали индийцы, исходя непосредственно из чертежа. Рогутенок А. Однако это предание о 100 быках, якобы принесенных Пифагором в жертву, мало соответствует действительности, так как устав пифагорейцев запрещал им всякое пролитие крови. Еще Марк Тулий Цицерон (106—43 до н. э.), выдающийся оратор, писатель и политический деятель древнего мира, сомневался в правдивости рассказанной выше легенды, а последователи Пифагора позднейших веков (неопифагорейцы) живых быков заменили «быками», сделанными из муки. Открытие теоремы Пифагора связано с разного рода легендами. Например, одна из легенд говорит, что Пифагор, обрадованный своим открытием, в благодарность принес богам в жертву 100 быков (гекатомбу). Рогутенок А. Понамарева П. Самой знаменитой теоремой Пифагора является теорема о получении равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника: Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Меньщикова А. Понамарева П. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Для всякой тройки положительных чисел  а, б и с, такой, что a2+b2=c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Обратная теорема Пифагора: Меньщикова А. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Меньщикова А. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Концептуально все доказательства можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений). Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2. ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Рогутенок А. Растрепаева Д. Данное доказательство приведено в предложении 47 первой книги «Начал». На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник AHJK равновелик квадрату ADCE, а прямоугольник HBIJ — квадрату BGFC. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА: Рогутенок А. Растрепаева Д. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. Рогутенок А. Растрепаева Д. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА: Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с2=а2 + Ь2. Рогутенок А. Растрепаева Д. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА: Построим квадрат Q со стороной (а+Ь) (рис. б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь¬ные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной.Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Рогутенок А. Растрепаева Д. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть α и β— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, α + β = 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными α и β , составляет развернутый угол. И так как α + β = 90°, то ∟BAD=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с. Квадрат Q со стороной (а+Ь) слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .Так как S(Q)=(a+b)2 ; S(P)=c2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b)2 =c2 +4*(1/2)ab. Поскольку (a+b)2 =a2 + b2 + 2ab,то равенство (a+b)2 =c2 +4*(1/2)ab можно записать так: a2 + b2 + 2ab=c2 + 2ab. Из равенства a2 + b2 + 2ab=c2 + 2ab следует, что с2 =а2 + b2. Ч.Т.Д. Рогутенок А. Растрепаева Д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА ЧЕРЕЗ КОСИНУС УГЛА Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2 . Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2 . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:АС2 + ВС2 = АВ(AD + DB) = АВ2.Теорема доказана. Рогутенок А. Растрепаева Д. ВЕКТОРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = aоткуда имеем c = a – b возводя обе части в квадрат, получимcІ=aІ+bІ-2abТак как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда cІ=aІ+bІ или cІ=aІ+bІТеорема Пифагора снова доказана.Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора. Рогутенок А. Растрепаева Д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ХОУКИНСА Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Рогутенок А. Растрепаева Д. Рогутенок А. Растрепаева Д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ХОУКИНСА Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).SCAA'=bІ/2, SCBB'=aІ/2, SA'AB'B=(aІ+bІ)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=cІ/2Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:aІ+bІ=cІТеорема доказана. Рогутенок А. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДОМ ГАРФИЛДА Дано: ABC-прямоугольный треугольникДоказать: BC2=AB2+AC2Доказательство:1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 Растрепаева Д. Рогутенок А. Растрепаева Д. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДОМ ГАРФИЛДА 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:S=(DE+AB)*AD/2.4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:AB*AC + BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2AB*AC + BC2/2= (AC+AB)2/2AB*AC + BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*ACBC2 =AB2 +AC2.Ч.Т.Д. Как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Доказательство Леонардо да Винчи Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Растрепаева Д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ИНДИЙСКИМ МАТЕМАТИКОМ БХАСКАРИ-АЧАРНА Пусть сторона большого квадрата (она же — гипотенуза прямоугольного треугольника) равна с. Пусть также два его катета равны соответственно a и b. Тогда, в согласии с чертежом, (a − b)2 + (4ab)/2 = с2, то есть с2 = a2 + b2. Следовательно, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его катетов действительно равна квадрату гипотенузы. На рис. изображен квадрат с выделенными на нем четырьмя равными прямоугольными треугольниками. Именно из такого рисунка исходил в своем доказательстве в XII веке индийский математик Бхаскари-Ачарна. Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно очевидно следует из рис. 1. Шабурова А. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Пример одного из таких доказательств указан на чертеже, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах. Доказательства через равносоставленность Шабурова А. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей. Шабурова А. На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна (a + b). Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор. Шабурова А. Доказательство Энштейна основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников. Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Шабурова А. Аддитивные доказательства На рис. приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF. Шабурова А. На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис.). ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Шабурова А. ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Шабурова А. Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры. На рис. изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. Шабурова А. Метод достроения Шабурова А. Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь C EP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ. Метод достроения На рис. Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае. Шабурова А. Метод достроения PCL – прямая; KLOA = ACPF = ACED = a2;LGBO = CBMP = CBNQ = b2;AKGB = AKLO + LGBO = c2;  отсюда  c2 = a2 + b2. Шабурова А. Доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.) Метод достроения  точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; Шабурова А. Метод достроения Доказательство, предложенное Гофманом треугольник ABC с прямым углом C; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Алгебраический метод доказательства Шабурова А. Доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати,  XII в.). Современное изложение одного из таких доказательств, принадлежащих Пифагору. ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM ┴ AB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.Из того, что DABC подобен DACM следуетb2 = cb1; (1)из того, что DABC подобен DBCM следуетa2 = ca1. (2) Шабурова А. Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Алгебраический метод доказательства Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду. Доказательство Мёльманна Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна   с другой,   где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности   откуда следует, что Шабурова А. Доказательство Гарфилда Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна во втором   Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора Шабурова А. Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Шабурова А. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной. Шабурова А. Область применения теоремы достаточно обширна. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Теорема Пифагора также применяется в мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали её для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии. Теорема Пифагора является основой решения множества геометрических задач и для вывода многих формул геометрии. На её основе возникла целая наука тригонометрия. Эта наука применяется в космонавтике. Пифагор превратил математику в дедуктивную науку: ввел доказательство. Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии. Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать, но очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал. В конце 19 века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Пифагор и его теорема воспеты в литературе.Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Заповеди, откровенияМысль - превыше всего между людьми на земле.Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах). Пребудет вечной истина, как скороЕе познает слабый человек!И ныне теорема ПифагораВерна, как и в его далекий век.Обильно было жертвоприношеньеБогам от Пифагора. Сто быковОн отдал на закланье и сожженьеЗа света луч, пришедший с облаков.Поэтому всегда с тех самых пор,Чуть истина рождается на свет,Быки ревут, ее почуя, вслед.Они не в силах свету помешать.А могут лишь, закрыв глаза, дрожатьОт страха, что вселил в них Пифагор. немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие стихи: несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора; важно: Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий; ЗАКЛЮЧЕНИЕ с её помощью теоремы Пифагора можно вывести большинство теорем геометрии; всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности; несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. ЗАКЛЮЧЕНИЕ теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений; Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа.. найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики; теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей; приведенные примеры доказательств убедительно свидетельствуют об огромном интересе к теореме Пифагора; рассмотренные способы доказательств теоремы Пифагора дают представление о вариативности решения проблемы и об индивидуальности способов решения.  ЗАКЛЮЧЕНИЕ http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm http://school14-v.ucoz.ru/publ/1-1-0-2 http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0#cite_note-8 http://www.youtube.com/watch?v=HJrnE_YQAFo#t=88 http://school14-v.ucoz.ru/publ/1-1-0-2 http://www.moypifagor.narod.ru/use.htm http://th-pif.narod.ru/pract.htm http://www.tutoronline.ru/blog/teorema-pifagora.aspx http://www.math.com.ua/articles/teorema_pifagor.html Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта,Вавилона и Греции. М., 1959.Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982.Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990. Используемые ресурсы: