Презентация по алгебре на тему Вычисление площадей с помощью интеграла

Вычисление площадей фигур с помощью интегралов Чемоданова Е.И. – учитель математики МБОУ СШ № 3 Формула Ньютона-Лейбница 1643—1727 1646—1716 Задача №1. Найдите площадь фигуры, ограниченной: y= x, x=1, x=4, y=0 Задача №2.   Задача №3. Задача №4.   Самостоятельная работа Вариант №1 Вариант №2 Вычислите: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями Тройные интегралы. Вычисление объема тела. Понятие тройного интеграла вводиться аналогично понятию двойного интеграла.Пусть функция f(x,y,z)  определена в ограниченной замкнутой области T, которая принадлежит трехмерному пространству с определенной декартовой системой координат Oxyz.  Разобьем заданную область на n частей, которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны соответственно.В каждой такой элементарной области возьмем произвольную точку Pi(xi,yi,zi) nсоставим интегральную сумму ∑f(xi,yi,zi)dVi i=1 Тройной интеграл в общем виде записывается следующим образом:f(x,y,z) – подынтегральная функция трех переменных.dxdydz – произведение дифференциалов.T – область интегрирования – пространственное тело ограниченное множеством поверхностей.Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО: В соответствии с общим смыслом интегрирования, произведение dxdydz равно бесконечно малому объему dV элементарного тела. Тройной интеграл объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела: Как решать тройной интеграл? Пример 1. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Варианты ответа:1) 2) 3) 4)С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 1)используем формулу  Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость XOY. 2) выясняем, чем тело ограничено с сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. z=yІ параболический цилиндр расположенный над плоскостью XOY и проходящий через ось OX: 3)Выбираем порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY => Двигаемся по OXРешение свелось к двойному интегралу, используем формулу:Ответ: 1) Пример 2.Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж.Варианты ответа:1) 2) 3) 4)Решим систему  получены две прямые, лежащие в плоскости параллельные оси Изобразим проекцию тела на плоскость XOY:Искомое тело ограниченно плоскостью z=0 снизуи параболическим цилиндром z=1-xІ сверху: Составим порядок обхода тела: Двигаемся по OZ Двигаемся по OY Двигаемся по OX При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла. Ответ: 2) Пример 3. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями  Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость XOY.Варианты ответа:1) 2) 3) 4)Решение: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость представляет собой «одноимённую» окружность.Плоскости  ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в кругПлоскость пересекает цилиндр под косым углом, в результате чего получается эллипс.Из уравнения вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках Проекция тела на плоскость XOY представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат:Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:порядок обхода тела: Ответ: 3) Пример 4.С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где   – произвольное положительное число. неравенство   задаёт шар с центром в начале координат радиуса  , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости   сферическими сегментами сверху и снизу. Варианты ответа:1) 2) 3) 4) Порядок обхода: Решаем методом подведения под знак дифференциала:Ответ: 4)