Презентация по по дисциплине «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ» по теме: Производная

Производная функции Задачи, на применение производной Задача 1По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело. Закон движения задан формулой s=s (t), где t - время (в секундах), s (t) - положение тела на прямой (координата движущейся точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ? Задача 2
Задача 3На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–4;8). Найдите точку экстремума функции f(х), принадлежащую отрезку [–2;4].y01x1 Задача 4В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + 𝑡2, где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции. 
Задача 5 Определить размер такого открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32см³, чтобы на облицовку его стен и дна было истрачено наименьшее количество материала. Задача 6Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков. ВыводыЭти задачи в процессе решения приведут к одной и той же математической модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить. 0y𝑥0 f(𝑥0) ∆x 𝑥0+∆x f(𝑥0+ ∆x) ∆x-малое изменение аргумента, приращение аргумента∆y=f(𝑥0+ ∆x)-f(𝑥0)-приращение функции В точке 𝑥0 при ∆x⟶0∆y∆x⟶f′(𝑥0)-производная в точке 𝑥0Определение. Производной функции f в точке 𝒙𝟎 называется число, к которому стремится разностное отношение ∆f∆x= f(𝒙𝟎+ ∆x)−f(𝒙𝟎) ∆x при ∆x, стремящемся к нулю. x∆y Определение производной










Определение производнойПроизводной функции f в точке х𝟎 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю: 

Если функция у=f(x) имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Нахождение производнойфункции у=f(x) называется дифференцированием Алгоритм нахождения производнойДля того, чтобы найти f′(𝑥0) нужно:1. С помощью формулы, задающей функцию f , находим ее приращение в точке 𝑥0    ∆y или ∆f=f(𝑥0+ ∆x)-f(𝑥0)2. Найти разностное отношение ∆f∆x , преобразовать и упростить его и сократить на ∆x 3.Выяснить к какому числу стремится ∆f∆x , если ∆x стремится  к  нулю.Это число иногда еще называют скоростью изменения функции f в точке 𝑥0  Найти производную функции f(x)=kx+b точке хо∆𝑓 = f(хо + ∆х) – f(хо) = k ∙ (хо + ∆х) + b – (kхо + b )= k∆х∆f∆х=k∆x∆х=kОтвет: f′(𝑥)=(kx+b) ′=k 
Найти производную функции у = х2в точке хо∆у =у(хо + ∆х)–у(хо) ==(хо + ∆х)2-(хо ) 2==хо2 +2хо ∆х+(∆х)2–хо2 ==2хо ∆х + (∆х)2 = ∆х(2хо + ∆х) ∆y∆х = ∆х(2хо + ∆х)∆х =2хо+∆х   ⟶   2хо при ∆x⟶ 0Ответ: y′=(𝑥2) ′=2x 
Вывод:Производная применима при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера, а также при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств