Подготовка к ЕГЭ. Метод рационализации для решения логарифмических неравенств

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇𝒙>𝟎, 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒇𝒙>𝟎 𝒂>𝟏 𝟎<𝒂<𝟏 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇𝒙>𝟎  𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇(𝒙)>𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏 𝒇(𝒙)>𝟏 (𝒂−𝟏)𝒇𝒙−𝟏>𝟎 𝒂>𝟏 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇𝒙<𝟎  𝒍𝒐𝒈𝒂𝒇(𝒙)<𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏 𝒇(𝒙)<𝟏 𝒂<𝟏 (𝒂−𝟏)𝒇𝒙−𝟏>𝟎 121.⇒𝒂−𝟏>𝟎 ⇒𝒇𝒙−𝟏>𝟎 2.










log𝑎𝑓𝑥>0<=>𝑎−1𝑓𝑥−1>0 log𝑎𝑓𝑥>0, 𝑎>0, 𝑎≠1, 𝑓𝑥>0Если 𝑎>1,        то log𝑎𝑓𝑥>0 тогда и только тогда, когда 𝑓𝑥>1,        т.е. (𝑎−1)𝑓𝑥−1>0;Если 0<𝑎<1, то log𝑎𝑓𝑥>0 тогда и только тогда, когда 𝑓𝑥<1, т.е 𝑎−1𝑓𝑥−1>0 Знак 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒇𝒙 совпадает со знаком произведения 𝒂−𝟏𝒇𝒙−𝟏 в ОДЗ 
log𝑎𝑓𝑥>log𝑎𝑔(𝑥)<=>𝑎−1𝑓𝑥−𝑔(𝑥)>0  log𝑎𝑓𝑥>log𝑎𝑔(𝑥), 𝑎>0, 𝑎≠1, 𝑓𝑥>0, 𝑔𝑥>0Если 𝑎>1,        то log𝑎𝑓𝑥>log𝑎𝑔(𝑥) тогда и только тогда,        когда 𝑓𝑥>𝑔(𝑥),т.е. (𝑎−1)𝑓𝑥−𝑔(𝑥)>0;Если 0<𝑎<1, то log𝑎𝑓𝑥>log𝑎𝑔(𝑥) тогда и только тогда,       когда 𝑓𝑥<𝑔𝑥, т.е 𝑎−1𝑓𝑥−𝑔(𝑥)>0 Знак разности 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒇𝒙−𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈(𝒙) совпадает со знаком произведения 𝒂−𝟏𝒇𝒙−𝒈(𝒙) в ОДЗ 



Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , где - некоторые функцииТеорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств: Неравенства для логарифмов с переменным основанием Метод рационализацииМетод рационализации заключается в замене сложного выражения F (x) на более простое выражение G (x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G (x)>0  F (x)>0 в области определения выражения . В этом случае будем говорить, что выражениеG (x) является рационализацией (или рационализирующим выражением) для выражения F (x). Применение метода рационализацииМетод рационализации используют при решении неравенств вида F (x) ˅ 0, где символ ˅ означает один из знаков неравенств, в которых выражение F (x) удается рационализировать, либо выражение 𝐹𝑥=𝑓1∙𝑓2∙ … ∙𝑓𝑘𝑔1∙𝑔2∙ …𝑔𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑁записано в виде произведения или частного выражений, каждое из которых можно рационализировать.  Справедливо на ОДЗlog𝑎𝑏<log𝑎𝑐<=>𝑎−1𝑏−𝑐<010.log𝑎𝑏−log𝑎𝑐<0 <=>𝑎−1𝑏−𝑐<0log𝑎𝑏∙log𝑐𝑑<0<=> 𝑎−1𝑏−1𝑐−1𝑑−1<0 log𝑎𝑏−log𝑐𝑏<0<=> 𝑎−1𝑐−1𝑏−1𝑐−𝑎<0 


Стандартные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании метода рационализации, заключаются в следующем: а) проводят рационализацию без учета области определения данного неравенства;б) применяют метод рационализации к неравенствам, не приведенным к стандартному виду F(x) ˅ 0;в) формально применяют метод рационализации к выражениям вида log𝑎𝑓(𝑥)+log𝑎𝑔(𝑥), заменяя на выражение 𝑓𝑥+𝑔( 𝑥);г) подменяют формулировку «о совпадении знаков выражений для каждого допустимого значения х» на неверную формулировку «о совпадении значений выражений для каждого допустимого значения