Презентация по математике по решению разнообразных задач различными способами (5-6 класс).

Подборку материала выполнилаучитель математики Руднева Н.В. МБОУ Лицей №1 им. Г.С.Титова г. Краснознаменска Московской области. Логические задачи Фигурные числа Случайные события. Геометрические задачи Задачи на дроби. Аликвотные дроби. Делимость. Задачи на проценты. Чётность-нечётность. Дроби. Задачи на«обратный ход». Последняя цифра. 1. Допустим, что у вас есть линейка с двумя метками 0, 3 и 10. Как с помощью одной лишь этой линейки построить отрезки длиной 4см, 2см, 5 см? 0 3 10 Решение: 7-3=4 3*4=12, 12-10=2 3*5=15, 15-10=5 2. Сколькими способами три друга могут разделить между собой два банана, две груши и два персика так, чтобы каждый получил по два различных фрукта. Ответ: 6 способов, 2*3=6. 3. По течению реки катер проходит расстояние между пристанями за 7 ч, а против течения- за 9 ч. Скорость течения реки 5 км/ч. Найти собственную скорость катера. Ответ: 40км/ч. 1/7 -1/9 = 2/63, 2/63:2=1/63 это составляет 5 км/ч, 1.Логические задачи. 5*63=315 км расстояние, 315:7=45 км/ч(ск-сть по теч-ю), 315:9=35 км/ч (скорость против течения), собственная скорость (45+35):2=40 км/ч. 2.Логические задачи. 1. Какое из чисел больше: a или b, если 3/7 от a равны 2/3 от b? (a и b не равны 0.) Ответ: a больше b, т.к. 2. Что можно сказать о двух числах, если известно, что:а) их сумма чётна; б) их произведение чётно; в) их сумма и произведениечётны; г) их сумма нечётна; д) их произведение нечётно; е) их сумма и произведение нечётны? 3. Какой знак (плюс или минус) стоит в выражении:а) 87-86+85-84+…-2+1 перед числом 35?б) 68-66+64-62+…+4-2 перед числом 38? Ответ:а)плюс, 4. В последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,…каждое число, начинаяс третьего, равно сумме двух предыдущих(последовательность Фибоначчи).Каких чисел больше среди первых 12 чисел этой последовательности-чётных или нечётных? Чётным или нечётным является число, стоящее в последовательности под номером: а)15, б)96; в)1000? Ответ: нечётных больше (по тройкам неч,неч,чёт); а) чётное (15 кратно 3), б) чётное (96 кратно 3) в) нечётное (при : на 3 ост.1). б)минус. а)ЧЧ или НН; б)ЧЧ или НЧ; в)Ч и Ч; г)Ч и Н; д)Н и Н; е) не м.б. 1 1+3 1+3+5 1. Пользуясь соотношениями, полученнымигеометрическими рассуждениями, вычислите:1+3+5+…+99. Ответ: 2500 =50*50 3.Логические задачи. 1+3+5+7 2. Сколько всего пятизначных чисел, первая цифра которых 3, а последняяцифра 8? Ответ:10*10*10=1000 чисел с повторами; 3. В каких случаях разность двух чисел равна каждому из них? 4. Сумма двух пятизначных чисел равна пятизначному числу. Первое слагаемое начинается с цифры 8 и кончается цифрой 6. Если сложить первую и последнюю цифры второго слагаемого, то получится 4. Найдите первую и последнюю цифры суммы. а=в=0. Первая=9, последняя=9. =1+3. 5. Разность меньше уменьшаемого на 37. Чему равно вычитаемое? =37. 6. Какие трёхзначные числа можно записать, используя только цифры 0 и 1? 100,101,110,111, чисел 2*2=4. 7. Произведение двух множителей и первый множитель оканчиваются цифрой 7. Какой цифрой начинается второймножитель, если сумма его первой и последней цифр=9? 1*7=79=1+8Ответ: 8 8*7*6=336 без повторов. 4.Логические задачи. 1. Частное меньше делимого в 12 раз. Можно ли найти делитель? Д=12. 2. Имеет ли корни уравнение: а-а = а*а ? а=0. 3. В каких случаях куб числа х равен разности х-х? квадрату этого числа? Ответ: х=0; х=0 или х=1. 4. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на 2,4, а вычитаемое увеличить на 1,6? Ответ: увеличится на 0,8. 6. Если в данном числе перенести запятую вправо через одну цифру и изрезультата вычесть данное число, то получится 36,09. Найдите данное число. 5. В одном сомножителе перенесли запятую через две цифры вправо, а во втором -через три цифры влево. Как изменилось при этом их произведение? Ответ: уменьшилось в 10 раз. Решение: 10х-х=36,09, х=36,09:9 = 4,01. 7. В двух корзинах по 25 кг яблок. Вначале из первой корзины взяли 20% имевшихся там яблок и положили их во вторую корзину. Потом из второй корзины взяли 20% оказавшегося там количества и положили в первую. В какой корзине стало больше яблок и на сколько? Ответ: больше в первой, на (20+6)-(30-6)= 2 кг. 5.Логические задачи. 3. При каком значении а уравнение имеет корень 0,8? а = 0,36. 5. Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем а)133, б)115, в)145, г)123? Решение: а) в числителе следует в исключить все числа, кратные 7(их 18)и 19(их 6), всего 132-(18+6)=108 дробей. Ответ: а)108; б)114-(4+22)=88; в)144-(4+28)=112; б)88, в)112, г)80. г)122-(2+40)=80. 1. Найдите а)число, оканчивающееся цифрой 7, зная, что оно меньше пятизначного числа и больше 9987, б)пятизначное число, оканчивающеесяцифрой 6, если оно больше 99 989? Ответ: а)9 997; б)99 996. 2. Несколько двухрублёвых монет и столько же пятирублёвых составляютсумму 84 руб. Сколько было пятирублёвых монет? Ответ:12 монет. 4. На покупку 6 значков у Кати не хватит 15 рублей. Если она купит 4 значка,то у неё останется 5 руб. Сколько денег у Кати? Сколько стоит 1 значок? Ответ: 45 рублей у Кати, 6. Как изменится число, если его умножить на 0,5? разделить на 0,25? умножить на 1,5? Ответ: уменьшится в 2 раза, увеличится в 4 раза, увеличится на половину. 10 рублей стоит один значок. 133=7*19; 115=5*23; 145=5*29; 123=3*41; 6.Логические задачи. 1. Определите, какие из высказываний верны, а какие -нет:«… двух натуральных чисел есть число натуральное», если вместо пропускаподставить слово «сумма»; «разность»; «произведение»; «частное». Ответ: верно; неверно; верно; неверно. 2. Найдите двузначное число, которое в 9 раз больше суммы его цифр; в 8 раз? Решение: Пусть -это число, тогда составим уравнение10х+у=9(х+у), х=8у, вариант у=1,х=8. Ответ: число 81, 10х+у=8(х+у), 2х=7у, вариант у=2, х=7. Ответ: число 72. 3. Для нумерации страниц книги использовано 2052 цифры. Сколько страницв книге? 1812 цифр? Решение: однозначных номеров-9 цифр двузначных номеров-(99-10+1)*2=180 цифр, трёхзначных номеров-2052-(180+9)=1863 цифры,1863:3=621 страниц,Добавим трёхзначные номера: всего 621+99=720 страниц. Ответ: 720 страниц; 640 страниц. 4. Сколько чисел натурального ряда заключено между числами 2892 и 7521? 3856 и 6523? Помните! От n до m (включительно) всего чисел (m-n+1) !!! Ответ: 4630; 2668. 7.Логические задачи. 1. Сколько существует двузначных чисел, у которых число десятков на 3 больше числа единиц? на 3 меньше числа единиц? Решение: 30,41,52,63,74,85,96 - 7 чисел; 14,25,36,47,58,69 - 6 чисел. 2. Как изменится разность двух чисел, если уменьшаемое увеличить на 564?вычитаемое увеличить на 564? 3. Уменьшаемое и вычитаемое записаны с помощью одной цифры. Найдите эти числа, если их разность равна 7000? 5500? Ответ: 7777 и 777; 5555 и 55. 4. Оба слагаемых записаны с помощью одной цифры.Найдите эти числа, если их сумма равна 976? 854? Ответ: 888 и 88; 777 и 77. 5. Найдите два двузначных числа, записанных одинаковыми цифрами,сумма которых равна 99? 77? (цифры в одном числе не должныповторяться). Сколько решений имеет задача? Ответ: 81 и 18, 61 и 16, 52 и 25, 43 и 34; три решения. 6. Если к некоторому двузначному числу приписать справаноль, то оно увеличится на 207 (на 306). Найдите это число. Ответ: это число 23; это число 34. увеличится на 564; уменьшится на 564. 72 и 27, 63 и 36, 54 и 45; четыре решения; 8.Логические задачи. 1. Поставьте между цифрами знак «+» в левой части равенства так, чтобыравенство было верным: 88888888=1000, 44444444=500. Ответ: 888+88+8+8+8=1000; 444+44+4+4+4=500. 2. Вычислите наиболее удобным способом:а)100+200+300+…+900+1000; г)5+10+15+…+90+95,б)150+250+350+…+950; д)99-97+95-93+…+3-1,в)6+12+18+…+90+96; е)101-99+97-95+93-…-3+1. 5500; 4950; 816; 950; 50; 51. д) 50 чисел, 25 пар, 25*2=50; е) (без учёта 1): 25 пар по 2, 50+1=51. 3. Каким числом надо заменить а, чтобы корнем уравнениях+6=а было число 12? х-а=6 было число 12? (а=18); (а=6). 4. Какими натуральными числами надо заменить а и в,чтобы корнем уравнения (11-а)+(х-в)=16 было число 7? (х-а)+(12-в)=18 было число 8? Ответ: а=1, в=1; а=1, в=1. 9.Логические задачи. 4. Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисела) от 20 до 60? б) от 50 до 150? в) от 100 до 200? Решение: Важно помнить, сколько чисел, оканчивающихся на 0, на 5, но среди них подсчитывать отдельно «лишние» пятёрки в разложении чисел,оканчивающихся на 5, т.е. кратных 25: Ответ: а) 5+4+2=11; в) (2*2+9)нулей+10пятёрок+4лишних=27. б) 11+10+6лишние=27; 2. Частное двух чисел равно 24. Каким будет новое частное, если делимое увеличить в 3 раза, а делитель увеличить в 6 раз?если делимое уменьшить в 3 раза, делитель уменьшить в 6 раз? Ответ: 12; 48. 1. Известно, что А меньше В в 6 раз, а В больше С в 2 раза. Какое из двух чисел больше -А или С? Во сколько раз? С=х,В=2х,А=х/3 Ответ: С больше А в 3 раза. Известно, что А больше В в 12 раз, В меньше С в 4раза. Какое из двух чиселбольше -А или С? В=х, С=4х,А=12х Ответ: А больше С в 3 раза. 3. Во сколько раз увеличится трёхзначное число, если к нему приписать такое же число? дважды приписать такое же число? Ответ: увеличится в 1001 раз; в 1001001 раз. Кстати:1001=7*11*13! 10.Логические задачи. 1.В записи 123456789 расставьте между некоторыми цифрами знак «+»или«-»так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 10? равно 100? Ответ: 123-45-67+8-9=10; 123-4-5-6-7+8-9=100. 2. При каком наименьшем и наибольшем натуральных значениях х выполняется неравенство: Ответ: 3. При каких натуральных значениях а дроби а/9 и 12/а –неправильные, а дробь 10/а –правильная? При каких а дроби а/10 и 6/а –правильные, 8/а -неправильная? Ответ:11 и 12; 7 и 8. 4. При каких натуральных значениях а дробь: а) будет правильной? б) будет правильной; в) -неправильная? г) -неправильная? 1 и 2 1 и 2 1,2,3 1,2,3,4. Ответы: 5. Один из множителей увеличили в 12 раз. Как надо изменитьвторой множитель, чтобы произведение уменьшилось в 6 раз? Ответ: уменьшить в 72 раза. 123-67-45+89=100 123+45-67+8-9=100 3. В поход пошли 20 человек: мужчины, женщины и дети. Каждый мужчина нёс груз 20 кг, каждая женщина -5 кг, а каждый из детей-3 кг. Все вместе они несли груз массой 149 кг (137 кг). Сколько мужчин, сколько женщин и детей пошло в поход? Ответ1: 5 муж., 2жен., 13 детей; Ответ2: 3 муж.,13 жен., 4 детей. 11.Логические задачи. 1. На аллее растут сосны и берёзы так, что между соседними соснами растётодна берёза. Расстояние между любыми двумя деревьями равно 3 м. Найтирасстояние между 5-ой сосной и 16-той берёзой, 4-ой сосной и 14-ой берёзой. 2. Сколько Буратино заплатил за арбуз, который стоил 20 сольдо и ещё пол-арбуза? Решение 1:3*20=60, 149-60=89 кг разница, приходящаяся на мужчин и женщин. Если у -мужчин, х -женщин, то 17у+2х=89, в целых числах у=5, х=2; 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6м 1313 14 14 15 1516 16 6мС б с б с б с б с б с б с б с б с б Ответ: 11*6+3=69 м; 10*6+3=63 м. Решение 2: 137-60=77 кг разница, приходящаяся на мужчин и женщин, уравнение 17у+2х=77, в целых числах у=3, х=13. Ответ: 40 сольдо. 17 кг 3 кг 15 кг 2 кг 1. Чётность - нечётность. Чётным или нечётным числом является сумма: а)всех чисел от 1 до 100,б)всех нечётных чисел от 1 до 90,в)всех нечётных чисел от 1 до 49? Ответ: а)чётное; б) нечётное, т.к. чисел 45; в) нечётное, т.к. чисел 25. 2. Продолжите утверждение: а)произведение двух чётных чисел является…числом;б)произведение двух нечётных чисел является…числом;в)если хотя бы один множитель в произведении есть чётное число, то…г)если все множители в произведении -…числа, то и произведение-… число. чётным нечётным произведение чётно; нечётные, нечётное. Помните правило: Сумма двух любых чётных чисел –чётное число;Сумма двух любых нечётных чисел –чётное число;Сумма чётного и нечётного чисел –нечётное число! Чётным или нечётным числом является сумма:699 + 378 + 697 + 843 + 485 + 364 + 615 + 970? Ответ:нечётное. 2. Чётность - нечётность. 1. Чётным или нечётным числом будут сумма и произведение:а)простых однозначных чисел; б)двух последовательных натуральных чисел;в)пяти последовательных нечётных чисел? 3. Мама решила угостить детей конфетами. Она посчитала,что если дать детям по четыре конфеты, то три конфеты останутся лишними. А чтобы дать по пять конфет, двух конфет не хватит. Сколько было детей? Ответ: 5 детей. Решение: Если отнять 3 конфеты от общего количества конфет,то оставшееся количество будет кратно и четырем, и пяти;4*5=20,20+3=23 конфеты,23:4=5(ост3),23:5=4(не хватит2). Ответ: а)S-нечётна, б)S-нечётна, в)S-нечётна, P-чётное; P-чётное; P-нечётно. Помните правило:Сумма, содержащая нечётные слагаемые, является чётным числом лишьтогда, если количество нечётных слагаемых чётно.В противном случае такая сумма –число нечётное. 2. Чётным или нечётным числом является: 1+3+5+7+…+17+19,сумма 20+25+30+35+…+305+310, 101+103+…+165+167. чётное нечётное; чётное. Номер числа 1 2 3 4 5 6 7 8Треугольное число 1 3 6 10 15 21 28 36 Номер числа 1 2 3 4 5Квадратноечисло 1 4 9 16 25 В каком порядке идут чётные и нечётные числа в последовательности треугольных чисел? Чётным или нечётным является число с номером 17,18,19,20? С номером 60,78,35? 1.Познакомьтесь: фигурные числа. Эти числа связаны с именем Пифагора, древнегреческого математика (6 в. до н.э.) два нечётных, два чётных; 60-чётное, 35-чётное. 78-нечётное, 17-неч, 18-неч, 19-чёт, 20-чёт; Пифагор изображал числа точками. Например: -число 6 изображалось в виде прямоугольника. -число 5. Пифагор рассматривал и пятиугольные числа (1,5,12,22,…). а также числашестиугольные:1,6,15,28,45… 1 5 12 22 6 15 Ответ: порядок 2.Познакомьтесь: фигурные числа. Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Древнегреческий ученый Диофант (3 в.н.э.) нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К: 8Т+1=К. На рисунке изображены 81 клеточки, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольныхчисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К. Большой интерес к фигурным числам проявлялииндийские математики. Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров? 2. Чему равно треугольное число а)с номером 35; б) с номером 50; в) с номером 1000? Ответ: 325. Ответ: а)630; б)1275; в)500.500. 3. Известно а15=210. Каково значение а16, а14? Ответ: а16=210+16=226; а14=210-15=195. 3.Познакомьтесь: фигурные числа. Квадратные пирамидальные числа : 30 Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкойтак, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми – 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ... 20= Треугольныепирамидальныечисла: 4,10,20,35... Очень интересны кубические числа,возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125и так далее. Теперь понятно, почему протакие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»? Кроме плоских фигурных чисел (треугольные, квадратные, пятиугольные и т.д.), существуют еще пространственные фигурные числа. 5,14,30,55… Найдите три последовательных числа, сумма которых равна а)48, б)69. Ответ: а)48:3=16, 48=15+16+17, 1. Найдите последние цифры значения выражения: а)151+152+153+154+155+156+157+158+159, б)151*152*153*154*155*156*157*158*159, в)11*12*13*14*…*29, г)1999*1999*1999*1999*1999*1999*1999. Ответ:а)5, 2. Какой цифрой оканчивается: а)сумма всех однозначных чисел,б)сумма всех двузначных чисел, в) всех трёхзначных, г)всех стозначных? Ответ: а) 5, 3. Какой цифрой оканчивается: а) произведение всех однозначных чисел, не равных 0, б) произведение всех трёхзначных чисел, в) произведение всех стозначных чисел? Ответ: а)0, 4. Продолжите фразу: а) квадрат натурального числаможет оканчиваться только цифрами…б) куб нат. числа может оканчиваться только цифрами… Ответ: а)0,1,4,5,6,9, 1.Последняя цифра. б)69:3=23, 69=22+23+24. г)9. в)0000, б)0, г) 0. в) 0, б) 5, б)всеми возможными. в)0. б)0, 2.Последняя цифра. 1. Найдите последние цифры значений выражений:а)12*123+13*134+14*145+15*156+16*167+17*178;б)154*628+814*318+774*458+314*398+654*218;в)12*123-13*134+14*145-15*156+16*167;г)154*628-814*318+774*458-314*398+654*218; Ответ: а)6; г)2. в)6; б)0; 2. Найти первую, не равную нулю цифру справа в произведении:а)первых семи натуральных чисел 1*2*3*4*5*6*7;б)первых десяти натуральных чисел (1*2*3*4*5*6*7)*8*9*10;в)первых шестнадцати натуральных чисел (1-10)*11*12*13*14*15*16;г)первых двадцати натуральных чисел (1-16)*17*18*19*20. Ответ:а)4; б)8; в)6; г)4. 3. Замените многоточие любым числом так, чтобы получилосьверное равенство(там, где это невозможно, объясните почему):а)…3: …8=…2;б)…4: …6=…4:в)(…3: …9: …7)* …4: …3=…6. Ответ: а)невозможно; б)24:6=4; в)невозможно. 4. а)Среди чисел 18*96; 22*88; 51*97 одно является квадратомнатурального числа. Какое?б)Какое из чисел 76*19; 98*18; 85*20 не является квадратом натурального числа? Ответ: а)22*88; б)85*20. 3.Последняя цифра. 1. Изучите данные, представленные в таблице степеней числа 2: 6 8-я 6 четвёртая 8 7-я 8 третья 4 6-я 4 вторая 2 5-я 2 первая послед. цифра степень послед. цифра степень Найдите последние цифры степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19 951 995. Ответ: 6 (32 кратно 4), 2 т.к.69:4=17(ост.1), 2; 8 т.к.95:4=23(ост.3), 8. 1 8-я 1 четвёртая 3 7-я 3 третья 9 6-я 9 вторая 7 5-я 7 первая послед. цифра степень послед. цифра степень 2. Аналогичные закономерности можно заметить и в степенях числа 7: Ответ: 1; 7; 7; 3; 3. Ответьте на эти же вопросы о степенях числа 7. n=1 n=2 n=3 n=4 2 8 3 7 9 4 6 5 4 4 9 9 1 6 8 2 7 3 6 6 1 1 Изучите таблицу последних цифр степеней чисел 2,8,3 и 7, 9 и 4, 6 и 5. n=7 n=17 n=76 n=1002 4 4 9 9 1 6 6 5 7:4(ост.3) 17:4(ост.1) 7:2(ост.1) 17:2(ост.1) 8 2 7 3 9 4 6 5 76:4(ост.0) 2 8 3 7 9 4 6 5 76:2(ост.0) 1002:4(ост.2) 1002:2 6 6 1 1 1 6 6 5 Знайте!!! Если «блок» повторяющихся последних цифр состоит из четырёхцифр, то исследуйте делимость показателя степени на 4; если из двух -на 2. Степени чисел 5 и 6 неизменно оканчиваются на 5 и 6. Заполните таблицу последних цифр, если показатель степени равен: 4.Последняя цифра. 1.Сколько треугольников на рисунке а) , четырёхугольников на б). 2. Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так: найти число диагоналей, выходящих из одной вершины (их на 3 меньше, чем вершин); умножить это число на число вершин; разделить результат на 2. Сколько диагоналей у семиугольника, 10-угольника,100-угольника? У какого многоугольника 9 диагоналей? Ответ: 14, Ответ: а)6, 3. Можно ли квадрат со стороной 5 клеток разрезать на две одинаковые части так, чтобы линия разреза проходила по сторонам клеток? 4. Разбейте квадрат на четыре равные части, проводяразрез по сторонам клеток так, чтобы в каждой частибыло по одной закрашенной клетке. Ответ:нельзя,25 нечётно. 1.Геометрия. б)9. у шестиугольника. 4850, 35, 2.Геометрия. 1. Какой из кругов составлен из двух равных частей? 2. Как эту фигуру можно разрезатьодной прямой надве равные части. Сколько способов можете предложить? 2 ед. 3. Закрашенная часть квадрата тоже квадрат. Найдите его площадь. В А 4. Отрезок АВ –диагональ квадрата АСВД. Постройте этот квадрат. Ответ: 2 кв.ед. 5. Сколько отрезков,равных по длине данному, из этой же точки, можно построить на клеточной бумаге? Ответ:ещё 7. С Д v шесть способов. 3.Геометрия. 4 см 5 см 3см 5 см 4 см 3 см 1. Из двух одинаковых листов стекла вырезают заготовки для аквариумов,изображённых на рисунке. В каком случае площадь обрезков будет больше? Ответ: у второго обрезков больше. Решение: Площадь поверхности1-го аквариума 3*4+(3*5+4*5)*2=82, 2. Куб с ребром 3 см окрасили зелёной краской и распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеет одну окрашенную грань, две окрашенные, три окрашенные грани? Есть ли неокрашенные кубики? Все кубики выложили в один ряд. Какова длина ряда? Всего 27 кубиков: 6 с одной окраш. гранью, 12=4+4+4 с двумя, 8 с тремя окрашенными гранями, 1 неокрашенный кубик. Ответ: 27 см. Ответ: 2-го аквариума 5*3+(5*4+3*4)*2=79;Для изготовления первого аквариума идёт стекла больше. 4.Геометрия. 4 дм 2 дм Решение: (4+2)*2+(2+2)*4+2= 30 дм. 7. Сколько шпагата потребуется, чтобы перевязатькоробку? На бантик необходимо оставить 2 дм. 8. Какие многогранники могут получиться при разрезании куба плоскостью? 9. Куб с ребром 1м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какойдлины получился ряд? 1. У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды? 2. У пирамиды 1800 ребер. Какая это пирамида? 3. У пирамиды 28 граней. Сколько у нее вершин? 4. Существует ли пирамида, у которой 1999 ребер?5. Сумма числа ребер и вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?6. Сумма числа вершин, ребер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида? 2 дм Решение: Ответ: 1882 вершины. 900-угольная, n=N:2. 27-угольная, 28 вершин. нет,1999 нечётно. 8-угольная, 2n+(n+1)=25. 6-угольная.(n+1)+2n+(n+1)=26. призмы, пирамиды. 5.Геометрия. 1. Вместимость какого сосуда может быть равной 5 ?а)стакана; б)кастрюли; в)флакона духов, г)мензурки. Ответ: 5 л-кастрюля. 2. В каких единицах вы будете измерять: а)длину своего прыжка, б)площадь квартиры, в)вместимость ведра, г)периметр школьного участка, д)объём комнаты, е)вместимость стакана, ж)высоту дома? 3. Из четырёх одинаковых квадратов сложили один большой квадрат. Найдите периметр большого квадрата, если периметр одного малого квадрата 32 см. Решение: а1=8 см, 4. Во сколько раз увеличится периметр и площадь прямоугольника, если егокаждую сторону увеличить в 10 раз? Ответ: Р -в 10 раз, 5. Прямоугольная рамка имеет везде ширину 2,3 см. На сколько см периметр внешнего прямоугольникабольше Р внутреннего прямоугольника? Ответ: на 18,4 см =(2,3*2)*4. 6. При нахождении площади квадрата ученик получил в ответечисло, оканчивающееся цифрой 7. Почему можно сказать, чтоон допустил ошибку? Ответ: квадраты чисел не оканчиваются на 7 (только 0,1,4,5,6,9). S -в 100 раз. Р=16*4=64 см. а2=16 см, 6.Геометрия. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1. На прямой отмечено 20 точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Каково расстояние между крайними точками? Ответ: 19*2= 38 см. 2. На отрезке СD, равном 18 см, отметили точку К, такую, что СК=14 см, иточку В, такую, что ВD=12 см. Вычислите длину отрезка ВК. Ответ: ВК = 8 см =(14+12)-18. 18 см D C В 12 см 14 см К 3. Петя придумал задачу: «Если периметр треугольника 20 см, одна сторона11 см, вторая 6 см, то третья сторона будет равна 3 см.» Какую ошибку допустил Петя? Ответ: такого треугольника не существует, 4. Длина прямоугольника 26 см. На сколькоуменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширину уменьшить с 20 см до 15 см? Ответ: 130 = 26*(20-15). 5. Как изменится сумма длин всех его ребер, площадь поверхности и объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза, в 3 раза? Вспомните формулы: или ВК=12-(18-14)=8. в 2 раза,4 раза,8 раз; в 3раза,9 раз,27раз. 7.Геометрия. 1. Два угла САВ и КАВ имеют общую сторону АВ. Какую градусную меруможет иметь угол САК, если А В С К1 К2 1 случай: луч АК внутри угла САВ: 2 случай: луч АК вне угла САВ: Ответ: 2. Два отрезка лежат на одной прямой АВ=15 см, ВС=7 см. Какую длину может иметьотрезок АС? А В С2 С1 1 случай: 2 случай: Ответ: 22 см или 8 см. 3. Как изменится объём прямоугольногопараллелепипеда, если длину увеличить в 2 раза, ширину уменьшить в 4 раза и высоту увеличить в 3 раза? Ответ: увеличится в 1,5 раза. Решение: АС=15+7=22 см; АС= 15-7=8 см. 8.Геометрия. 1. Какие фигуры могут быть получены при пересечении:треугольника и четырёхугольника? двух четырёхугольников? Точка, треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник; Точка, треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник. отрезок, отрезок, 2. Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин всехрёбер, равную 72 см. Длина параллелепипеда в 3 раза больше высоты, а ширина в 2 раза больше высоты. а) На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше площади поверхности параллелепипеда;б)на сколько кубических сантиметров объём куба больше объёма паралл-да? Решение: Для куба ак=72:12=6 см,Vк=6*6*6=216 ,Sк=6 =6*6*6=216 ; Vп=3*6*9=162, Vк=216,Vк-Vп=216-162=54; Sп=(3*6+6*9+3*9)*2=198;Sк- Sп=216-198=18; Ответ: на 18 на 54 Для пар-педа пусть с=х,в=2х,а=3х,(х+2х+3х)*4=72,х=3 см, тогда с=3,в=6,а=9; 9.Геометрия. 1. Прямоугольник разрезали на квадраты. Сторона наибольшего квадратаравна 6 см. Сторона наименьшего квадратаравна 3 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника. Ответ: P=48 см, Ответ: P=78 см, 3. Сколько квадратов, равных данному, надо взять, чтобы сложить из нихквадрат со стороной в 2 раза(в 3 раза)больше, чем сторона данного квадрата? Ответ: 4 квадрата; 9 квадратов. 4. Сколько кубов, равных данному, надо взять, чтобы сложить из них куб со стороной в 2раза (в 3 раза) больше, чем сторона данного куба? Ответ: 8 кубов; 27 кубов. S=140 кв.см; S=378 кв.см. 2. Сумма длин всех рёбер куба равна 72 см. Найдите: а)объём куба; б)площадь поверхности куба. ак=72:12=6 см, Ответ: Vк=216 ; Sк=216 . 10 14 18 21 10.Геометрия. 1. Запишите выражение для вычисления площади фигуры: а в х у m n у х а а в с а с в d d n a b b c S1=ab-xy S2=mn-x(n-y) S4=ac-d(a-b) b а m n с с S5=(c+b)*(a+b+n)- -n*(c+b-d) S6=a*(m+n)- -n*(a-b-c) -c*(m+n-c) 2. Прямоугольный параллелепипед с размерами 2 м, 3 м,5 м разрезалина кубические дециметры и поставили кубики друг на друга. Найдите высоту полученного параллелепипеда. Ответ: 30 000 дм=3 км. S3= 3. Верны ли утверждения:если два угла равны, то равны и смежные к ним углы;если два угла равны, то они вертикальные;всякий равнобедренный треугольник имеет не менее одной оси симметрии;если два треугольника подобны, то соответственные стороны и углы равны. верно; неверно; верно; углы равны, стороны -нет. 11.Геометрия. 6 2 2 3 6 4 3 7 6 На какое наименьшее количество квадратов вы можете разрезать квадратсо стороной 13 клеток, если разрезыследует проводить только по сторонамклеток? Наибольшее число, очевидно,равно 169 –числу отдельных клеток.Наименьшее число равно 11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Задача о разрезании квадрата. Сколько квадратов изображено на рисунке? 14 квадратов; 18 квадратов; 13 квадратов; 13 квадратов. 1по 7, 2 по 6, 1 по 4, 2 по 3, 3 по 2, 2 по1. Попробуйте найти это решение. 12.Геометрия. 3. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а)по равному острому углу; б)по равному тупому углу; в)по прямому углу? Ответ: а)не всегда; б)да, всегда; в)да. Тупой и прямой углы могут лишьпротиволежать основанию, что обеспечивает однозначность! 5 2 3 6 2 1 1 5 4 В каждом случае определите, какая цифра находится на нижней грани. Нанесите недостающие цифры на развёртки этого куба. 1.На грани нанесены цифры1,2,3,4,5,6. Три положения этого куба изображены. 1 5 2 3 1 2 2 3 5 Д Г В Б А А Б В Д Г Д Г В Б А Б А В Г Д 2. Мысленно сверните куб из развёртки, изображенной на рисунке и определите,какая грань является верхней,если закрашенная грань нижняя. Д А А Г 4 1 4 6. 6. 5 13.Геометрия. 20 1. Сколько тупых и острых углов на рисунке? А)0 тупых, 3 острых Б)1 тупой, 3 острых В)3 тупых, 3 острых Г) 4 тупых, 4 острых. Ответ: 4 тупых, 4 острых. 2. Найди слово, которое находится в такой же связи, как и первые два: гектар = площадь – миллиметр =…А) периметр, Б) сторона, В) длина Ответ:А В 3. Какие из заготовок являются развёртками пирамиды? А Б В Г Ответ: АВГ 4. Какой угол составляют стрелки часов в 9 часов 30 минут? А) Б) В) Г) Д) Решение: 90+(90:3):2=105,360-105=255. Ответ:ВД 14.Геометрия. 1. Длина прямоугольника в 4 раза больше ширины. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину увеличили на 10%. На сколько процентов изменился периметр прямоугольника? А)не изменился Б)уменьшился на 6% В)увеличился на 6% Г)уменьшился на10% Д)увеличился на 10%. НайдёмР=(а+4а)*2=10а (исходный), Р1=(3,6а+1,1а)*2=9,4а (изменённый периметр).10а-9,4а=0,6а означает уменьшение Р на 0,6а, Ответ: Б Решение: 3. Прямоугольный параллелепипед с размерами 3 дм, 4 дм,5 дм разрезалина кубические сантиметры и поставили кубики друг на друга. Найдите высоту полученного параллелепипеда. Ответ: 60 000 см=600 м. Пусть а -ширина, 4а-длина исходного прямоугольника. Учитывая, что100%-10%=90%=0,9;100%+10%=110%=1,1, получим изменённые размерыпрямоугольника: а1=0,9*4а=3,6а -новая длина, 1,1а-новая ширина. что составляет 6% от 10а. 1.Дроби. 1. Найдите решение неравенства с однозначным числом в знаменателе: Ответ: Ответ: 2. Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками,считая от часовой к минутной по их ходу, в 800; в 700, в 1700, в 1400? Ответ: 1/3; 5/12; 7/12; 5/6. , учитывая их удалённость до 1;3. Сравните числа: , учитывая их удалённость от Ѕ ; 4. Натуральные числа a,b,c и d связаны неравенствами: Сравните дроби: 5. Замените все * одной и той же цифрой так, чтобы оба неравенства были верными: Ответ: 6 или 7; Ответ: 4 или 5. 1.Расположите в порядке возрастания следующие суммы: Ответ: 2. Найдите какие-нибудь числа, которые:а)больше 1/7, но меньше 2/7; б) меньше 5/9, но больше 4/9. Решение: 3. От верёвки, длина которой 2/3 м, нужно отрезать Ѕ м.Как это сделать, не производя измерений? Решение: Достаточно верёвку сложить вчетверо и отрезатьодин кусок. 2.Дроби. Решение: 1. Не приводя дроби к общему знаменателю, установите, какая из них наибольшая: а)11/20, 21/40, 31/60; б)23/48, 17/36, 35/72. Решение: 3.Дроби. 2.Найти несколько чисел, которые можно подставить вместо k и получитьверное двойное неравенство:Сколько существует таких чисел? Таких чисел к бесконечно много. 3. Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: Решение: Решение: б) например, 11/21 Образец: 4.Дроби. Решение: Образец: 1. Не выполняя сложения, сравните с 1 сумму: 2. Не выполняя сложения, объясните, почему сложение выполнено неверно: 3. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехалидва автомобиля. Первый проходит расстояние между А и В за 3 ч, а второй за 4 ч. Состоялась ли встреча автомобилей, если они находятся в пути 1 ч, 2 ч? через 2 ч уже разошлись. 1, 1, 1, 1. 1, 1, 1, 1,но через 1ч ещё не встретились, Образец: 5.Дроби. Образец: 1. Докажите, что: Доказательство: 2. Не выполняя сложения, сравните с 1 сумму: 3. Между какими последовательными натуральными числамизаключено число: 4. Не вычисляя сумму, сравните её с числом 10: 3и4; 6и7; 6и7; 2и3; 1и2; 2и3. а)сравнивать с 1/15; б) с 1/25; в) с 1/10. 6.Дроби. 1. При каких значениях х дробь Ответ: х=6. 2. Какие цифры можно поставить вместо * в записи , чтобы получилась правильная дробь? Ответ: от 0 до7. 3. Назовите три числа, для которых верно неравенство: 4. Выразите в метрах: 6 см 8 мм; 3 дм 6 см; 1 м 2 дм 5 мм. 5. Выразите в часах: 3 ч 48 мин; 5 мин 10 сек. Ответ: 0,068 м; 0,36 м; 1,205 м. Ответ: Ответ: например, 0,31, 0,312, 0,32. 6. Какое из чисел –правильная дробь или ей обратная дробь- на координатном луче расположено ближе к единице? Ответ: правильная дробь ближе к единице. 7. Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству: Ответ: 13, Ответ: 11. 1.Знакомьтесь: аликвотные дроби. Древние египтяне считали «настоящими» лишь единичные или аликвотныедроби, выражающие какую-либо долю целого (половина, треть и т.д.) «Папирус Ахмеса»: Разделить семь хлебов между 8 людьми. По-египетскиэто решали так. Долю, приходящуюся на каждого, т.е. 7/8, выражали в виде Значит, каждому дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушкухлеба. Заметьте - это удобно, ведь четыре хлеба надо разрезать пополам, два хлеба -на 4 части и один -на 8 частей. 0 1 Представьте 1 в виде суммы трёх аликвотных дробей. Не выполняя сложение дробей, объясните, почему верно каждоенеравенство: Решение: 2. А какое следующее равенство будет выполняться? Ответ: начинать с 16 и закончить 31: 2.Знакомьтесь: аликвотные дроби. Как, используя рисунок, доказать, что На сколько сумма аликвотных дробейздесь отличается от 1? Допустим, что сумма дробей, записанныхпо тому же закону, содержит 100 слагаемых.Будет ли неравенство по-прежнему верным? 1 Замените каждое слагаемое разностью аликвотных дробейи значение суммы найдётся устно: Пусть требуется найти значение суммы Ответ:2/5. Будет верным и отличаться от 1 на 1.Делимость. 1. Не вычисляя значения выражения, докажите, что:а)75*9 делится на 15; б)12*63 делится на 42; в) кратно 27;г) кратно 50, д)12*36 кратно 16,27,48. 2. Дано разложение числа на простые множители Делится ли это число на 18, 70,11, 48? 3. Простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет квадрат простого числа? куб простого числа? четвёртая степень?А сколько делителей тогда имеет десятая степень простого числа? 4. Придумайте несколько чисел, которые имеют ровно четыре делителя, но не являются кубами простых чисел.Как можно описать все такие числа? 5. Сколько делителей имеет число ?Убедитесь, что количество делителейможно вычислять по формуле (m+1)*(n+1)*(k+1). Сколько делителей имеет число а, если: а) а=2*11*17, б) а=2*3*5*7? Ответ: а)8=2*2*2, а)75 кратно 15, б)42=6*7, в)12 на 3, 3*3=9, г)на 2, 15 на 5, 5*5=25, д)16=4*4, 27=9*4, 48=12*4. да, нет, нет, 48=2*2*2*2*3 нет. 3, 4, 5; 11. множители должны бытьвзаимно простыми. Например:15=3*5. 12. б)16=2*2*2*2. 2.Делимость. Ответ:а)сумма цифр равна 8: 2106, 1. Опровергните утверждение: а)если сумма двух слагаемых делитсяна некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число; б)если произведение двух множителей делится на некоторое число, то и какой-нибудь из этих множителей делится на это число. 2. Простым или составным является число: а) б) 3. Укажите ближайшее к каждому из данных чисел число, делящееся на 9: 732, 596, 2468. 4. Какую цифру можно приписать к числу 10 слева, чтобы получившеесятрёхзначное число делилось бы на 15? делилось на 6? 5. К числу 10 надо приписать по одной цифре справа и слева так, чтобы полученное число делилось бы на 18.Сделайте это всевозможными способами. составным 2 составным 8 729, 594, 2466. 210, эти же цифры. 15=5*3; 6=2*3; б)сумма цифр равна 17: Последняя цифра должна быть чётной. 18=2*9; кратно 17 кратно 11 510, 810; 8100; 6102, 4104, 9108. 3.Делимость. 1. Для а)-в) используя все цифры от 0 до 9 только по одному разу, запишите:а) наименьшее число, делящееся на 5;б) наибольшее число, делящееся на 2;в) наименьшее число, делящееся на 6. Ответ: 5; 6. 2. Среди чисел 1001, 1002,…, 1010-одно простое. Найдите его. 3. Найдите какое-нибудь двузначное число и наименьшеетрёхзначное, которое при делении на 2 и на 3 даёт в остатке 1. Ответ: например,37; 4. Найдите какое-нибудь двузначное число и наименьшеетрёхзначное, которое при делении на 2, на 3 и на 5 даёт в остатке 1. Ответ: например, 61; наименьшее трёхзначное 103 =6*17+1. наименьшее трёхзначное 121 =30*4+1. 5. Таня получила остаток 10 при делении 153 (129) на некоторое число. На какое число делила Таня? Сколько решений имеет задача? Решение:153-10=143=11*13, 119=7*17, 98743210; 1001=7*11*13, 1003=17*59, 1005=5*201, 1007=19*53. Ответ: 1009. 2.Необходим перебор простых делителей от 3 до 31. к любому двузначному, кратному 6, прибавить1: к двузначному числу, кратному 30, прибавить 1: на 11 или 13;два решения; на17,одно решение. 4.Делимость. 1. Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 4 даёт в остатке 3 и при делении на 5 даёт в остатке 4. Решение: Если к числу прибавить 1, то оно станет кратным 2,3,4 и 5. Ответ: например, 60. 2. Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 4 даёт в остатке 1, при делении на 5 даёт в остатке 2 и при делении на 6 даёт в остатке 3. Решение: Если к числу прибавить 3, то полученное число станет кратным и 4, и 5, и 6. 2 9 2 11 12 14 14 14 14 14 366 737 380 921 474 Остаток Делитель Делимое 3. Пользуясь таблицей,определите, какой остатокполучится при делении на 14 следующих чисел:366+737, 921+380,737+921,474+366, 921+474. Ответ: 11, 13, 6 =20-14, 0 =14-14, 9 =23-14. Ответ: например, (120-3=) 117. 1.Решение задач «обратным» ходом. 1. На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещёодну книгу, то осталось 2 книги. Сколько книг лежало на столе? Ответ: 6 книг. :2 -1 +1 :2 *2 +3 *2 *2 -3 2. Когда Петя отдал брату половину всех значков и ещё три значка, у негоосталось 19 значков. Сколько значков было у Пети первоначально? Ответ: 44 значка. 3. Когда использовали третью часть воды, имевшейся в ведре, и ещё 5 ковшей, в ведре осталось 7 ковшей воды. Сколько ковшей воды было в ведре первоначально? :3 -5 +5 :2 4. Машинистка перепечатала треть всей рукописи, потом ещё10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи? Ответ: 18 ковшей. 1/6 составляет 10 стр.10*6=60 стр.Ответ: 60 страниц. 3 6 2 44 22 19 *3 7 12 6 18 2.Решение задач «обратным» ходом. Ответ: 36 слив. :2 :2 *2 :4*3 *2 :3*10 :3*4 +5 :10*3 2. На полке стояли книги. Сначала с полки сняли 25% всех книг, а потом ещё70% оставшихся книг. После этого на полке осталось 27 книг. Сколько книг было на полке первоначально? Ответ: 120 книг. 3. На столе в пачке лежали тетради. Сначала взяли 30% всех тетрадей, а потом добавили 5 тетрадей. После этого взяли ещё 75% имеющихся настоле тетрадей. В результате на столе оказалось 17 тетрадей. Сколькотетрадей было в пачке первоначально? :10*7 :4*1 *4 -5 Ответ: 90 тетрадей. 18 36 9 120 90 27 :7*10 17 68 63 90 1. В пакете лежали сливы. Сначала из него взяли 50% слив, а затем 50%остатка. После этого в пакете осталось 9 слив. Сколько слив было сначала? Умножить на означает :4 и *3. Случайные события. 1. В коробке лежат карандаши: 6 красных, 2 синих и 1 зелёный. Один из карандашей выпал и закатился под стол. Даша закричала первая: «Еслион зелёный, то я его беру себе». Андрей, подумав, предложил: «Есликарандаш не зелёный и не синий, то я его беру себе». Как вы думаете, у кого из них больше шансов получить выпавший карандаш? Ответ: у Андрея, т.к. 6/9 больше 1/9. 2. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они последними, и притом в полной темноте, поэтому разобрали свои шляпы наугад. Какое из следующих событийневозможно? А: «каждый надел свою шляпу».В: «все надели чужие шляпы».С: «двое надели чужие шляпы, а один – свою».Д: «двое надели свои шляпы, а один – чужую» Ответ: Д невозможно. 1.Задачи на дроби. 2. В делегации иностранных гостей каждый знал или английский язык,или немецкий, а некоторые говорили на двух языках; 1/7 «англичан»знала немецкий язык, а 1/6 «немцев» знала английский язык. Кого вделегации больше – «англичан» или «немцев»? Ответ: «англичан» больше, 1. На день рождения к Васе пришли четыре друга. Первый получил 1/5 пирога, второй – ј остатка, третий – 1/3 нового остатка. Оставшуюся часть пирога Вася разделил поровну с четвёртым другом. Кому досталась большая часть? Решение: Ответ: всем досталось поровну. 3. Расстояние от станции до турбазы велосипедист проезжаетза 4 ч, а турист проходит за 12 ч. Они отправились из этих пунктов навстречу друг другу одновременно. Через сколько часов они встретятся? Ответ: через три часа, т.к. 2.Задачи на дроби. 1. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течениюреки –за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние по реке? Образец:1:6=1/6 часть расстояния это скорость катера по озеру (собств.ск-сть катера), 1/5 ск-сть по теч-ю, ск-сть течения, ч - время. Ответ: за 30 часов. 2. Плот от А до В плывет 40 ч, а катер – 4ч. Сколько времени катер плывёт от В до А? 1/40 часть расстояния это скорость течения, ј -ск-сть катера по течению, ск-сть катера (собств.), против теч-я. Ответ: 5 часов. 3. Вниз по течению пароход идёт 2 ч, а вверх – 3ч. Скольковремени между теми же пунктами будет плыть бревно? Решение: часть расст-я есть удвоенная ск-стьтечения, скорость течения, время по течению. Ответ: 12 часов. Решение: 3.Задачи на дроби. 1. Когда уменьшаемое увеличили на 3,8, а вычитаемое уменьшили на 3,2,то разность стала равной 17,9. На сколько уменьшаемое было больше вычитаемого? Ответ: на 10,9 = 17,9-(3,8+3,2). 2. Объясните, почему верны равенства: 3. Не выполняя сложения, сравните: 6. Что больше: 1/5 от числа Ѕ или Ѕ от числа 1/5? 4. Заполните пропуски в предложениях: а) чтобы найти половину числа,нужно это число разделить на…..или умножить его на…. б) чтобы найти четверть числа, нужно это число разделить на…..или умножить его на…. 5. Какую часть суток составляет 1ч? 2ч? 1/24сут; 1/12сут; 5/48сут. Ответ: равны. а) сократите на 11 б) сократите на 101 2 4 и 111; и 10101. 1.Задачи на проценты. 1. Андрей прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 40% всей книги и ещё 8 страниц, во второй день- 60% остатка и ещё 4 страницы, а в третий день -75% нового остатка и последние 3 страницы. Сколько страницв книге? 100%-40%=60%=0,6=3/53/5 от числа значит :5 и*3 :5*3 -8 100%-60%=40%=0,4=2/52/5 от числа означает :5 и*2 :5*2 -4 100%-75%=25%это ј часть :4 3 *4 +4 *5:2 +8 *5:3 12 16 40 48 80 Решение: Расставим знаки обратных действий. Произведём вычисления. Ответ: в книге было 80 страниц. 2. Все пятиклассники либо спортсмены, либо танцоры, либо и спортсмены, и танцоры одновременно. 68% детей занимаютсяспортом, 58% детей- танцами. Какой процент детей и танцует, и занимается спортом? 58% 68% (58%+68%)-100%= 26% Решение: Ответ: 26%. 2.Задачи на проценты. 1. На сколько процентов изменится периметр и площадь прямоугольника,если длину каждой стороны увеличить на 20%? Решение: а1=1,2а, в1=1,2в, Р1=(1,2а+1,2в)*2=1,2Р, Р увеличится на 20%; 2. Число А составляет 20% от числа В, а число В составляет 20% числа С.Найти отношение А/С. Сколько процентов составляет А от С? Решение: В=0,2С, А=0,2В=0,2(0,2С)=0,04С, А/С=0,04, 3. Число А в 4 раза больше числа В. На сколько процентов число А больше В? Ответ: на 300%. 4. Число А составляет 50% (25%) от числа В. Сколько процентовсоставляет число В от А? Решение: А=0,5В=ЅВ, В больше А в 2 раза, что означает: В от А составляет 200%. Решение: А=0,25В= јВ, В больше А в 4 раза, это означает: В от А составляет 400%. S1=а1*в1=1,44(ав)=1,44S, S увеличится на 44%. А составляет 4% от С. 3.Задачи на проценты. 2. Смешали 200 г, 500 г и 300 г соляной кислоты, соответственно 25%, 40% и 30% концентраций. Какова концентрация смеси? Ответ: 34%. 3. Решите аналогичную задачу: «Смешали 250 г, 300 г и 450 г азотной кислоты, соответственно 20%, 30% и 40% концентраций. Какова концентрация смеси?» Ответ: 32%. 1-й р-р2-й р-р3-й р-р смесь Вес р-ра % к-ты вес кислоты 200г 25% 0,25*200=50г 500г 40% 0,4*500=200г 300г 30% 0,3*300=90г 1000г 340г 1-й р-р2-й р-р3-й р-р смесь Вес р-ра % к-ты вес кислоты 250г 20% 0,2*250=50г 300г 30% 0,3*300=90г 450г 40% 0,4*450=180г 1000г 320г Сопоставьте проценты с равными им обыкновенными дробями:10%= ;20%= ;25%= ;50%= ;75%= ;80%= 1/10 1/5 4/5. Правило : чтобы найти проценты от числа, нужно проценты перевести в (десятичную) дробь и умножить на своё целое!