Презентация к внеклассному мероприятию по математике От Евклида до Лобачевского

ОТ ЕВКЛИДА ДО ЛОБАЧЕВСКОГО « - Тот, кто найдет доказательство аксиомы о параллельных, заслужит бриллиант величиной с земной шар!» (Ф.Бойяи – Я.Бойяи)Выполнила учитель математики школы №90 Выборнова О.Е. ВведениеЕвклид «Начала» V ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДАПопытки доказательства V постулата Птолемей, ПроклИбн аль-Хайсам, Гиясаддин Абу-ль-Фатх Омар Насир ад-Дин ат-Туси, Клавиус (Шлюссель) Христоф П. Катальди, Дж. Борелли, Дж. Валлис Джироламо Саккери Ламберт Иоганн Генрих Адриен Мари Лежандр Фердинанд Карл Швейкарт Неевклидова геометрия Карл Фридрих ГауссОтец и сын БойяиЛобачевский Николай ИвановичАксиома ЛобачевскогоМоделиПоследователи ЛобачевскогоБернхард Риман Бельтрами Эудженио Жюль Анри́ Пуанкаре́ Герман Людвиг Фердинанд фон Гельмгольц Клейн Феликс Христиан «Эрлангенская программа»ЗаключениеЛитература ВведениеКроме геометрии, которую изучают в школе – геометрии Евклида, существует ещё одна - геометрия Лобачевского. Теория геометрии Лобачевского помогает по-другому взглянуть на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии. Не менее интересной является и история её возникновения и развития. Источником геометрии Лобачевского является аксиома о параллельных, так называемый V постулат Евклида. Многие геометры на протяжении более 2000 лет пытались доказать эту аксиому. Безуспешные, а иногда и трагические, попытки и привели к открытию неевклидовой геометрии. Евклид (330-275 г.г. до нашей эры) – знаменитейший ученый Древней Греции. Предположительно родился в Александрии, учился в Афинах. Вернувшись в родной город, основал в нем научную школу. Кроме математики, занимался оптикой и музыкой. «Начала»Папирус из ОксиринхаГлавный 13-томный трактат «Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) Евклида (полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры) сыграл огромную роль в аксиоматическом построении геометрии. V ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА Если какая-нибудь прямая пересекает две другие прямые, образуя с последними по одну сторону такие внутренние углы, что сумма их меньше 2d, то обе прямые, при продолжении в ту же сторону, пересекутся.
Попытки доказательства V постулата Евклида Птолемей (около 100 – 170)Древнегреческий математик и астроном. Птолемей первый усомнился в очевидности постулата Евклида о параллельных прямых и делал попытки доказать его справедливость, тем самым положив начало длинному ряду подобных попыток позднейших геометров.древнегреческий геометр Прокл (410 – 485 г.г. н.э.). В своих комментариях на первую книгу «Начал» Евклида не только сам пытался доказать V постулат, но и сообщил ценные сведения о таких попытках, сделанных до него. Ибн аль-Хайсам, Альгазен (965, Басра, — около 1039), арабский учёный, работал в Каире. Посвятил анализу "Начал" Евклида два трактата, где рассмотрены определения, аксиомы и постулаты, теория параллельных. Гиясаддин Абу-ль-Фатх Омар ибн Ибрахим аль-Хайям Нишапури (1048–1131) – прославленный персидский поэт, философ, математик, астроном, астролог. В «Трактате об истолковании тёмных положений у Евклида», написанном около 1077 года, Хайям пытается доказать пятый постулат Евклида. Исходя из более очевидного его эквивалента, две сходящиеся прямые должны пересечься. Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.)Среднеазиатский математик Хайям и ат-Туси при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения  который был прозван Евклидом XVI в Занимался также некоторыми задачами арифметики, геометрии и тригонометрии.  Предложил графическое решение сферических треугольников, основанное на стереографической проекции сферы. Один из основоположников «компута».Клавиус (Шлюссель) Христоф (1537-1612)Немецкий математик опубликовал (1574) снабжённый комментариями перевод«Начал» Евклида за итальянские математики П. Катальди (Cataldi, 1545-1626) —бывший профессором во Флоренции и Болонье. впервые в 1603 году напечатавший работу, целиком посвященную вопросу о параллельных Дж. Борелли (1608-1679)- Профессор философии и математики в МессинеАнглийский математикДж. Валлис (1616- 1703) -основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура Джироламо Саккери (1667-1733)Итальянский математик в своём главном труде, озаглавленном «Евклид, очищенный от всех пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus» 1733 г.), изданном в Милане, опередив на столетие творцов неевклидовой геометрии, заменяет пятый постулат Евклида на альтернативный постулат гиперболической геометрии и делает попытку доказать V постулат от противного. Приняв предложение, противоречащее постулату Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно признав некоторые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил, что постулат Евклида доказан. Джироламо Саккери «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии»,1733. Ламберт Иоганн Генрих (1728— 1777)Немецкий математик, предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логическое противоречие. Ламберт первый заметил, что если на поверхности шара приписать большим кругам роль прямых линий, то гипотеза СаккериЛамберт делает правильное замечание, что сферическая геометрия не зависит от V постулата Евклида.будет полностью реализована на сфере. Адриен Мари Лежандр (1752 –1833)одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, то есть, как и все его предшественники, он заменил постулат другим допущением. Фердинанд Карл Швейкарт (1780-1857)немецкий математик в 1807 опубликовал книгу «Теория параллельных с предложением их изгнать из геометрии»,где предлагал перестройку геометрии Евклида. Он пришёл к выводу, что аксиому параллельных нельзя доказать логически, а можно построить геометрию, в которой сумма углов треугольника меньше 2d.Увлечение неевклидовой геометрией унаследовал от Швейкарт его племянник Франц Адольф Тауринус (1794-1874). Под влиянием дяди он развил следствия из допущения и получил разные теоремы неевклидовой геометрии. Эти исследования изложены в двух работах: «Теория параллельных» (1825) и «Первые элементы геометрии» (1826) неевклидова геометрияВ течение первых десятилетий XIX века проблема V постулата была решена несколькими лицами почти одновременно и независимо друг от друга, но совершенно не так, как предлагали это прежние ученые: была создана новая геометрия, не зависимая от V постулата.К открытию новой, так называемой «неевклидовой» геометрии пришли три человека: Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) - великий немецкий математик; Янош Бойяи (1802 – 1860) – венгерский офицер, сын Фаркаша Бойяи(1775—1856 ); Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856) - профессор Казанского университета Карл Фридрих ГауссГаусс не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни строчки по этому вопросу. То, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии, было обнаружено лишь после смерти ученого, когда стали изучать его архивы. Гениальный Гаусс, к мнению которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым и втянутым в полемику. Отец и сын БойяиФаркаш Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, и хотел оградить сына от неудач и разочарований. Янош не внял совету отца. Вскоре он приходит к выводу, что пятый постулат недоказуем и независим от остальных. Это означало, что, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию. В 1832 году отец публикует своё сочинение, а в приложении к нему — работу сына, вошедшую в историю математики под именем Appendix (приложение). «Аппендикс», как и работы Лобачевского, остался непонятым и незамеченным.Он шутит в письме отцу: «Я создал странный новый мир из ничего!» Лобачевский Николай Иванович (1792- 1856) В 1802 - 1807 Лобачевский учился в 1-й казанской гимназии, увлекался математикой. В 1807 поступил в Казанский университет. За "чрезвычайные успехи и такие же дарования в физико-математических науках" Лобачевский в 1811 получил степень магистра и был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званию. За годы преподавательской деятельности он читал курсы всего цикла физико-математических наук. Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. А.Эйнштейн«Он бросил вызов аксиоме» Аксиома ЛобачевскогоСначала Лобачевский пытался доказать этот постулат, затем выделил в геометрии Евклида все то, что не зависело от него, – «абсолютную геометрию», и пришел к мысли заменить этот постулат другим – что через точку на плоскости вне лежащей на этой плоскости прямой можно провести не одну-единственную прямую, параллельную данной, – чтобы прийти к противоречию. Однако противоречия не обнаружилось, а была создана новая геометрическая система. Главное из того, что совершил Лобачевский в науке, состояло в доказательстве существования более чем одной «истинной» геометрии. В 1826 Лобачевский сделал доклад "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллелях", содержащий начала неевклидовой геометрии-открытия, совершившего переворот в представлении о природе пространства, имевшего огромное значение для дальнейшего развития математики, но не оцененного современниками. В 1827 Лобачевский был избран ректором университета; проявив исключительные качества организатора, он избирался на этот пост 6 раз. Ему удалось создать первоклассное научное учреждение, размещавшееся в специально построенных зданиях, имевшее богатейшую библиотеку и научное оборудование. Лобачевский положил начало регулярно выходящим "Ученым запискам Казанского университета". После 30-летней профессорской деятельности министерство отказало в ходатайстве Совета университета об оставлении Лобачевского на кафедре. Лобачевский получил назначение помощника попечителя учебного округа. содержавшей все наиболее существенное, что было сделано им в науке. Лобачевский - автор ряда работ по математическому анализу, механике, физике и др. Он первым в России опубликовал курс высшей алгебры. Идеи Лобачевского повлияли на развитие русского авангарда .И на этой должности Лобачевский стремился улучшить преподавание в гимназиях и училищах, но эта работа была лишь тенью его былой деятельности. Подавленный случившимся, он тяжело заболел и стал терять зрение.За год до смерти он подарил своему любимому университету, праздновавшему пятидесятилетие, экземпляр Пангеометрии, Модели«Я никогда не испытываю чувства полного удовлетворения до тех пор пока не построю механическую модель изучаемого объекта» Лорд Кельвин В 1868 году (через 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского! Существуют и другие модели: немецкого математика Ф. Клейна, французского математика А. Пуанкаре и других.Риман-1854Келли-1859Бертрами-1868Пуанкаре-1869Клейн-1871Гильберт-1899 Последователи Лобачевского Геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и ) и фигуры в этих пространствах Бернхард Риман (1826-1866)Сформулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений.Ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами. Бельтрами Эудженио (1835-1900)- итальянский математикИзучил общие свойства поверхностей минимальной площади. Исследовал поверхности с постоянной средней кривизной, частным случаем которых являются поверхности минимальной площади. При изучении поверхностей постоянной отрицательной кривизны («псевдосферических») установил, что для них имеет место геометрия Лобачевского. Опубликовал (1868) работу «Опыт пояснения неевклидовой геометрии», сыгравшую существенную роль в развитии этой геометрии. Здесь он доказал, что внутренняя геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны совпадает с геометрией Лобачевского. С этого времени геометрия Лобачевского получила общее признание. Исследования относятся к геометрии, математическому анализу, алгебре и математической физике. Жюль Анри́ Пуанкаре́ (1854-1912) - французский математикАнри Пуанкаре использовал геометрию Лобачевского при построении теории автоморфных функций, а также в одном из разделов теории чисел - геометрии чиселГеометрия Лобачевского нашла приложение в общей теории относительности - если считать распределение материи во Вселенной равномерным, то в определенных условиях геометрия пространства совпадает с геометрией Лобачевского. Глава Парижской академии наук (1906), член Французской академии (1908) и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук. Герман Людвиг Фердинанд фон Гельмгольц (1821 - 1894)После изучения трудов Лобачевского Гельмгольц предложил модель пространства переменной кривизны как " поля изображения выпуклого зеркала или линзы ", утверждая, что опытным путем возможно выяснить форму пространстваОн занимался физикой, математикой, физиологией, анатомией и психологией, добившись в каждой из этих областей мирового признания.Первый врач среди ученых и первый ученый среди врачей. Клейн Феликс Христиан (1849-1925)Клейн раскрыл внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой - с другой.Одним из важнейших научных достижений Феликса Клейна стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Для этого он построил ее интерпретацию в евклидовом пространстве. Клейн построил пример односторонней поверхности – "бутылку Клейна". Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии «Эрлангенская программа»(1872) Феликса Клейна Завершён «золотой век» классической геометрииЧисло новых геометрий возрастает Геометрический язык пронизывает значительную часть математики«Классическая геометрия переросла себя и из живойсамостоятельной науки превратилась в универсальный языксовременной математики, обладающий исключительной гибкостью и удобством» (Н. Бурбаки).. ЗаключениеГеометрия Лобачевского является стройной непротиворечивой системой. Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, а Евклидова геометрия является только её составной частью. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, стало необходимым аппаратом для изучения механики, физики, астрономии. литература Математика XIX века, «Наука», М., 1981“Квант” №11,№12 Академик АН СССР А.Д. Александров.Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993Виленкин Н.Я., Шибасова З. Ф., Шибасов Л. П., «За страницами учебника математики», М, «Просвещение», 1996г.Клейн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984Глейзер Г. И. История математики в школе 7 – 8 классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1982г.Г.И. Глейзер. История математики в школе IX – X классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.Даан Дальмедино А., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод с французского. М: Мир.1986г.Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963гhttp://images.yandex.ru/ « - Тот, кто найдет доказательство аксиомы о параллельных, заслужит бриллиант величиной с земной шар!»