Презентация на тему: Дифференциальное и интегральное исчисление в профессии автомеханика

Департамент образования и науки Кемеровской областиГОУ СПО «Мариинский многопрофильный техникум» Дифференциальное и интегральное исчисление в механике Автор: Дмитрий Бурдаков, студентI курса гр. ТА-14 (190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобилей)Руководитель: Г.М. Захарова Цель работы: доказать, что без знания дифференциального и интегрального исчислений нельзя понять основ современной техники и объяснить фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний данного раздела в механике. В рамках достижения цели были поставлены следующие задачи: На конкретных примерах показать, что дифференциальное и интегральное исчисления открыли возможность для научного описания количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова. 2. Практическим путём с помощью конкретных задач объяснить фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний данного раздела в моей будущей профессии автомеханика. Методы исследования: теоретический - изучение дополнительной литературы и Интернет-ресурсов; анализ учебной литературы; практический – решение конкретных прикладных задач. Своё доказательство я начну с того, что представлю вашему вниманию фотографию набегающей на берег штормовой океанской волны. Мы остановили мгновение, нам удалось поймать волну, и можем теперь без спешки внимательно изучать её во всех подробностях Но, остановив волну, мы лишили её движения и жизни. Её зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - всё это оказалось вне нашего поля зрения, потому что мы не располагаем пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодным для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей. А движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, технической механики, геологии, биологии, социологии и др. Таким языком стал математический анализ, составляющий основу математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. МММматематический анализ В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что всё это – динамические процессы, которые повлекли за собой появление основных понятий в математическом аппарате анализа – дифференциальное и интегральное исчисление. Итак, дифференциальное исчисление – это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятием производной и дифференциала функции. В данном разделе изучаются правила вычисления производных и применение производных к исследованию функций. Кроме того, одним из основных понятий данного раздела является понятие дифференциального уравнения, с помощью которых записываются многие физические законы. Например, известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества и вычисляется с помощью уравнения: Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Интегральное исчисление так же возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределённого и определённого интегралов. Выполнив данную работу, я провёл в своей группе деловую игру «пресс – конференция» и ответил на вопросы, которые были заданы мне «корреспондентами» популярных СМИ Корреспондент журнала «Юный техник» спросил: «Какими конкретными примерами вы можете подтвердить связь дифференциального и интегрального исчисления с технической механикой?» Я предложил рассмотреть следующие задачи: Задача 1. При запуске двигателя его шкив в течение первых нескольких секунд вращается согласно уравнению φ = 0,2tі. Определить скорость и ускорение точек, расположенных на ободе шкива, в момент времени t = 5секундам.Решение: Задача 2. Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону s(t) = 2tІ + 3t –1 Найти кинетическую энергию тела (m vІ/2) через 3 с после начала движения. Решение: Найдём скорость движения тела в любой момент времени t:2. Вычислим скорость тела в момент времени t = 3с:3. Определим кинетическую энергию тела в момент t = 3с: Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону v = (29,4 – 9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъёма. Решение: Найдём время, в течение которого тело поднималось вверх: 29,4 – 9,8t = 0 (в момент наибольшего подъёма скорость равна нулю), → 9,8t = 29,4 → t = 3(c). 2. Далее находим наибольшую высоту подъёма: Задача 4. Какую работу совершает сила в 10 Н при растяжении пружины на 2 см? Решение: По закону Гука сила F пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = kx2. Отсюда находим Решение: 3. Теперь находим работу: Задача 5. Сила в 60 Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть её до 20 см? Находим Т.к. пружину требуется растянуть на 0,06 (м) , то Корреспондента журнала «За рулём»интересовал следующий вопрос:«Могут ли с помощью дифференциального и интегрального исчисления делать какие –либо расчёты автомеханики и автомобилисты?» Предлагаю вашему вниманию несколько задач. Задача 6. Для автомобиля, движущегося со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) = 30t - 16tІ, где s(t) – путь в метрах, - время торможения в секундах. Необходимо рассчитать, в течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки автомобиля? Какое расстояние пройдёт автомобиль с начала торможения до полной его остановки? Решение: Находим скорость:В момент остановки v (t) = 0, т.е. 30 – 32t = 0, отсюда3. Тормозной путь равен: Задача 7. В момент времени t легковой автомобиль ВАЗ-21014 находится на расстоянии км от места отправления. Найти его ускорение через 2 часа. Решение: НаходимНаходимПри t = 2 имеем а = 3*4 + 24*2 +32 = 92 (км/чІ). Задача 8. Скорость движения автомобиля задаётся формулой: v = (4tі - 2t+ 1) м/с. Найти путь, пройденный автомобилем за первые 4 секунды от начала движения. Решение: 1. Воспользуемся формулой: Задача 9. Скорость движения механического средства изменяется по закону v(t) = 2t м/с. Найти длину пути, пройденного данным средством за 3-ю секунду его движения. Решение: Задача 10. Определить силу давления бензина на стенку бака автомобиля «ВАЗ-21014», длина которого 60 см, а высота – 25 см (считая бак полностью заполненным бензином). Решение: Здесь у = f (x) = 0,6; a = 0; b = 0,25 (м); γ = 740 кг/мі.2. Теперь воспользуемся формулой: Корреспондент популярного журнала «Наука и жизнь» задал такой вопрос:«А может ли данная тема пригодитьсяв повседневной жизни?» Конечно, например: Задача 11. Около АЗС необходимо разбить прямоугольную площадку периметром 120 м. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела наибольшую площадь? Решение: Задача сводится на нахождение наибольшего значения функции.1. Пусть длина площадки будет х, тогда ширину обозначим (60 – х).2. Составим функцию: у = х*(60 – х) = 60х - хІ.3. Найдём критическую точку: ; 60 – 2х = 0, а х = 304. Подтвердим данное значение второй производной: Решение: Задача 12. В авторемонтной мастерской ученику слесаря предложили из квадратного листа жести, сторона которого а = 60 см, изготовить ящик для хранения мелких запчастей, вырезая по всем углам равные квадраты и загибая оставшуюся часть. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы ящик имел наибольший объём? Обозначим сторону вырезаемых по углам квадратов через х. Дном коробкиявляется квадрат со стороной а – 2х, а высота коробки равна стороне х вырезаемого квадрата.Тогда V = (a – 2x)І x. Преобразуем функцию V = aІ x – 4axІ + 4xі3. Далее 4. Очевидно, что значение х = а/2 не отвечает условию, т.к. в этом случае квадрат был бы разрезан на 4 равные части и никакой коробки не получилось бы.5. Исследуем функцию на экстремум в критической точкех = а/6: , т.е. при х = а/6 достигается максимум. 6. Ответ: т.к. а = 60, то х = 10 см. Спецкор газеты «Студенческий меридиан»спросил: «Кроме выше перечисленных задач, где студентам ещё придётся использовать знания дифференциального и интегральногоисчисления?» Ответ: знания данной темы студентам необходимы при изучении многих других дисциплин. Например,в геометрии решаем задачи на вычисление площадей плоских фигур и выводим формулы объёмов геометрических тел (конуса, цилиндра, пирамиды и др.); в электротехнике находим э.д.с. (электродвижущую силу);в биологии можем рассчитать скорость размножения бактерий. Выполняя данную исследовательскую работу, я ознакомился с учебником А.И. Аркуши «Техническая механика» и выяснил, что кроме выше перечисленных задач следует отметить, что в данном пособии многие формулы выводятся через интеграл. Например, работа переменной силы на криволинейном пути: элементарная работа при повороте колеса на угол определяется по формуле где - вращающий момент. В заключение своей работы я пришёл к следующему выводу: математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), а его основу составляют дифференциальное и интегральное исчисления, играющие фундаментальную роль в системе теоретических и прикладных знаний в моей будущей профессии автомеханика. Спасибоза внимание! ЛИТЕРАТУРАСавин А.П.Энциклопедический словарь юного математика. Педагогика, 1985 г.2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие для техникумов. -М.; Высшая школа, 1990 3. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов.- М.; Высшая школа, 19894. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2011.5. Интернет – ресурсы.