Презентация по математике на тему Основные свойства функций. Чётные и нечётные функции. Периодичность тригонометрических функций

Основные свойства функцийЧётные и нечётные функции. Периодичность тригонометрических функций
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y Чётные и нечётные функцииРассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т. е. для любого 𝑥 из области определения число −𝑥 также принадлежит области определения. Среди этих функций выделяют чётные и нечётные.О п р е д е л е н и е. Функция 𝒇 называется чётной, если для любого 𝒙 из её области определения 𝒇−𝒙=𝒇𝒙 (рис. 28).О п р е д е л е н и е. Функция 𝒇 нечётна, если для любого 𝒙 из её области определения 𝒇𝒙=−𝒇𝒙 (рис. 29).Рис. 28 Рис. 29⃝ П р и м е р 1. Функция 𝑓𝑥=𝑥4 чётная, а функция 𝑔𝑥=𝑥3 нечётная. Действительно, область определения каждой из них (это вся числовая прямая) симметрична относительно точки 𝑂 и для любого 𝑥 выполнены равенства 𝑓−𝑥=−𝑥4=𝑥4=𝑓𝑥, 𝑔−𝑥=−𝑥³=−𝑥3=−𝑔𝑥. Графики этих функций изображены на рисунках 30 и 31.При построении графиков чётных и нечётных функций будем пользоваться следующими известными из курса алгебры свойствами:1⁰. График чётной функции симметричен относительно оси ординат.2⁰. График нечётной функции симметричен относительно оси координат.Рис. 30 Рис. 31Из этих двух правил вытекает следующее: при построении графика чётной или нечётной функции достаточно построить его часть для неотрицательных 𝑥, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае чётной функции) или начала координат (в случаи нечётной).⃝ П р и м е р 2. Функция 𝑓𝑥=𝑥+1𝑥 нечётная (докажите это самостоятельно). Её график симметричен относительно начала координат (рис. 32).Основные тригонометрические функции синус, тангенс, 
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation

style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation

style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation Чётные и нечётные функции (продолжение)котангенс являются нечётными, а косинус ‒ чётной функцией (см. п. 2). Поэтому графики синуса, тангенса и котангенса (рис. 8, 13, 14) симметричны относительно начала координат, а график косинуса (рис. 9) симметричен относительно оси ординат.Рис. 32⃝ П р и м е р 3. Функция 𝑓𝑥=𝑥3+𝑥𝑥3−𝑥 чётная, так как её область определения симметричная относительно точки 𝑥=0 (она состоит из всех чисел, отличных от −1, 0 и 1) и для всех 𝑥∈𝐷𝑓 выполнено равенствоГрафик этой функции симметричен относительно оси 𝑂𝑦 (рис. 33).Рис. 33⃝ П р и м е р 4. Функция 𝑓𝑥=𝑥2+𝑥 не является ни чётной, ни нечётной. Её область определения симметрична относительно точки 𝑂, но, например при 𝑥=1 не выполнено ни равенство 𝑓1=𝑓−1, ни равенство 𝑓1=−𝑓−1, поскольку 𝑓1=2, а 𝑓−1=0. 
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y Периодические функцииОчень многие процессы и явления, с которыми мы встречаемся на практике, имеют повторяющийся характер. Так взаимное расположение Солнца и Земли повторяется через год. Положения маятника в моменты времени, отличающиеся на период колебания маятника, одинаковы.Такого рода процессы называют периодическими, а функции их описывающие, ‒ периодическими функциями.Известные вам основные тригонометрические функции ‒ периодические. Так для любого числа 𝑥 и любого целого 𝑘 выполнено равенство sin𝑥+2𝜋𝑘=sin𝑥. Отсюда следует, что 2𝜋𝑘 ‒ период функции синус (𝑘≠0 ‒ произвольное целое число).Вообще, говоря о периодичности функции 𝑓, полагают, что имеется такое число 𝑇≠0, что область определения 𝐷𝑓 вместе с каждой точкой 𝑥 содержит и точки, получающиеся из 𝑥 параллельными переносами вдоль оси 𝑂𝑥 (вправо и влево) на расстояние 𝑇. Функцию 𝑓 называют периодической с периодом 𝑇≠0, если для любого 𝑥 из области определения значения этой функции в точках 𝑥,  𝑥−𝑇 и 𝑥+𝑇 равны, т. е. 𝑓𝑥+𝑇=𝑓𝑥=𝑓𝑥−𝑇.Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой и sin𝑥+2𝜋=sin𝑥, cos𝑥+2𝜋=cos𝑥 для любого 𝑥, синус и косинус ‒ периодические функции с периодом 2𝜋.Тангенс и котангенс ‒ периодические функции с периодом в 𝜋. В самом деле, области определения этих функций вместе с каждым 𝑥 содержат числа 𝑥+𝜋 и 𝑥−𝜋 и верны равенства tan𝑥+𝜋=tan𝑥, cot𝑥+𝜋=cot𝑥.Очевидно, что функция 𝑓 периодическая с периодом 𝑇, то при любом целом 𝑛≠0 число 𝑛𝑇 тоже период этой функции. Например, при 𝑛=3, воспользовавшись несколько раз определением периодической функции, находим:Докажем, что:а) наименьший положительный период функций 𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥 и 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 равен 2𝜋;б) наименьшим положительным периодом функций 𝑦=𝑡𝑎𝑛𝑥 и 𝑦=𝑐𝑜𝑡𝑥 является число 𝜋. а) Как уже отмечалось, число 2𝜋 является периодом функций sin и cos. Поэтому остаётся доказать, что положительное число, меньше 2𝜋, не может быть их периодом. Докажем это.Если 𝑇 начальный период косинуса. Тогда sin𝑎+𝑇=sin𝑎 при любом 𝑎. Полагая 𝑎=𝜋2, получаем sin𝑇+𝜋2=sin𝜋2=1. Но sin𝑥=1 только при 𝑥=𝜋2+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝒁. Поэтому 𝑇=2𝜋𝑛. Наименьшее положительное число вида 2𝜋𝑛 есть 2𝜋.б) Если 𝑇 ‒ положительный период тангенса, то tan𝑇=tan0+𝑇=tan0=0. Так как на интервале 0; 𝜋 тангенс 
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation Периодические функции (продолжение)нулей не имеет, 𝑇≥𝜋. Ранее доказано, что 𝜋 ‒ период функции tan, и, значит, 𝜋 ‒ это наименьший положительный период тангенса. Для функции cot доказательство аналогично.Как правило, слова «наименьший положительный период» опускают. Принято, например, говорить, что период тангенса равен 𝜋, а период синуса равен 2𝜋.Периодичностью основных тригонометрических функций мы уже фактически пользовались ранее, при построении графиков. Справедливо следующее утверждение:Для построения графика периодической функции с периодом 𝑇 достаточно провести построение на отрезке длиной 𝑇 и затем полученный график параллельно перенести на расстояния 𝑛𝑇 вправо и влево вдоль оси 𝑂𝑥 (рис. 34, здесь 𝑛 ‒ любое натуральное число).Рис. 34Действительно, пусть 𝑥0; 𝑦0 ‒ точка графика периодической функции 𝑓. Тогда точка 𝑥0+𝑛𝑇 при любом целом 𝑛 принадлежит области определения 𝑓 (см. в начале пункта) и вследствие периодичности 𝑓 справедливо равенство 𝑓𝑥0+𝑛𝑇=𝑓𝑥0=𝑦0. Значит, точка 𝑥0+𝑛𝑇; 𝑦0, полученная при параллельном переносе точки 𝑥0; 𝑦0 вдоль оси 𝑂𝑥 на вектор 𝑛𝑇;0 тоже принадлежит графику 𝑓.⃝ П р и м е р 5. Построим график функции 𝑓𝑥=2cos𝑥+1. Для построения воспользуемся тем, что функция 𝑓 периодическая с периодом в 2𝜋. Действительно, функция 𝑓 определена на всей прямой и, значит, вместе с произвольной точкой 𝑥0 её область определения содержит точки, получающиеся из 𝑥0 параллельными переносами вдоль оси 𝑂𝑥 вправо и влево на 2𝜋. Кроме того, вследствие периодичности косинуса 𝑓𝑥+2𝜋=2cos𝑥+2𝜋+1=2cos𝑥+1=𝑓𝑥. Пользуясь свойством графиков периодических функций, строим график 𝑓 сначала на отрезке 0;2𝜋 (для этого в соответствии с известными правилами преобразования графиков растягиваем график косинуса вдоль оси 𝑂𝑦 в 2 раза и сдвигаем его на 1 вверх, рис. 35), затем с помощью параллельных переносов продолжаем его на всю числовую прямую (рис. 36).Рис. 35 
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation Периодические функции (продолжение)Рис. 36 П р и м е р 6. Докажем, что функция 𝑓𝑥=tan2𝑥−𝜋4 периодическая и её наименьший периодический период равен 𝜋2. Тангенс определён при всех значениях аргумента, не равных 𝜋2+𝜋𝑛, 𝑛∈𝒁. Поэтому область определения данной функции состоит из таких 𝑥, что 2𝑥−𝜋4≠𝜋2+𝜋𝑛, т. е. 𝑥≠3𝜋8+𝜋𝑛2, 𝑛∈𝒁. Отсюда следует, что 𝐷𝑓 наряду с произвольным 𝑥0 содержит и все точки вида 𝑥0+𝜋𝑛2, 𝑥0−𝜋𝑛2, 𝑛∈𝒁. Очевидно, что число 𝜋2 является периодом 𝑓, так как 𝑓𝑥+𝜋2=tan2𝑥+𝜋2−𝜋4=tan2𝑥−𝜋4+𝜋=tan2𝑥−𝜋4=𝑓𝑥. Остаётся доказать, что число 𝜋2 ‒ наименьший положительный период 𝑓. Допустим, что периодом 𝑓 является такое число 𝑇0, что 𝑇0<𝜋2. Тогда для любого 𝑥∈𝐷𝑓 справедливо равенство 𝑓𝑥+𝑇0=tan2𝑥+𝑇0−𝜋4tan2𝑥−𝜋4+2𝑇0=𝑓𝑥=tan2𝑥−𝜋4, поскольку 𝑇0 ‒ период 𝑓. Но это означает, что 2𝑇0 ‒ период функции tan. По предположению 𝑇0<𝜋2, и, значит, 2𝑇0<𝜋. Пришли в противоречию с доказанным ранее: наименьший положительный период тангенса равен 𝜋.Аналогично доказывается следующее утверждение:Если функция 𝑓 периодическая и имеет период 𝑇, то функция 𝐴𝑓𝑘𝑥+𝑏, где 𝐴,𝑘 и 𝑏 постоянны, а 𝑘≠0, также периодична, причём её период равен 𝑇𝑘.Из этого утверждения сразу получаем, что, например, периодом функции sin3𝑥−𝜋2 является число 2𝜋3, а период функции cos−𝑥2+𝜋 равен 4𝜋. 
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation