Круги Эйлера как способ решения олимпиадных задач

«Всё наше достоинство заключено в мысли. Не пространство, не время, которых мы не можем заполнить, возвышает нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить» Б. Паскаль Разгадайте внешне похожие ребусы 1ОЧКА 1БОР Ш1А Ф1А 2Д ПО2Л одиночка разбор школа фраза парад подвал В шестнадцати клетках таблицы записаны вразнобой числа от 1 до 20.Это означает, что какие-то четыре числа в таблице пропущены. Без помощи ручки или карандаша, только глазами отследите все числа и запомните недостающие. 1 16 8 13 12 9 19 2 20 4 14 18 7 15 10 5 Ответ: 3,6,11, 17 Из 40 опрошенных человек 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад? Задача № 1: Леонард Эйлер Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он очень много работал и вскоре стал первым математиком мира. Леонард Эйлер Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач он использовал идею изображения множеств с помощью кругов и эти круги получили название «Круги Эйлера». Типы кругов Эйлера Из 40 опрошенных человек 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько человек не любят ни молоко, ни лимонад? Задача № 1: В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей было в семье? Задача № 2: Решение: капуста морковь горох 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 1 1 Ответ: 10 человек. «Гарри Поттер, Рон и Гермиона»На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон? Задача № 3: Решение:Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:  Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.  5 8 Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка? Задача № 4: Решение: немецкий французский 75 83 х 100-10=90 Получим уравнение: 75+83-х=90 158-х=90 х=68 Ответ: 68 человек знали оба языка Рефлексия Я узнал ….У меня получилось…Теперь я умею….У меня сначала вызвало затруднение, а потом …Меня удивило….Я смогу теперь решить…. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются только двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта? Задача № 5: Решение: Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно что одним лишь видом спорта – баскетболом- занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; одним лишь хоккеем17 - (4 + z + 5) = 8 - z; одним лишь футболом18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Решение: Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочками:3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38, z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек. Ответ:Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта . Увлекающихся лишь одним видом спорта - 21 человек. Задача № 1: В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыки, 15-джаза, 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не любят никакой музыки. Сколько их? Решение: классическая музыка джаз народная музыка 14 15 14 6 7 9 5 1 4 2 7 4 3 Ответ: 29-7-2-1-5-3-4-4=3(человека) – не любят никакую музыку. Задачи для самостоятельного решения: Задача № 2: На полу комнаты площадью 24 мІ лежат три ковра. Площадь одного из них -10 мІ, другого – 8 мІ, третьего – 6 мІ. Каждые два ковра перекрываются по площади 3 мІ, а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 мІ. Найдите площадь участка пола:а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим ковром;б)покрытого только первым ковром;в)не покрытого коврами. Решение: 1 2 3 10 8 6 3 3 3 1 5 3 2 2 2 1 Ответ:а) 10мІ;б)5 мІ;в) 24-10-5-1=8 мІ Задачи для самостоятельного решения: В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и музей – трое, в цирке и музее был один человек. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а трое вообще никуда не ходили? Ответ: 20 человек Задача для самостоятельного решения: Задача № 4: В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты спортом? Ответ: 10 ребят, 11 спортсменов. Задача для самостоятельного решения: Задача № 5: Задача для самостоятельного решения: Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран? Ответ: 7 сотрудников Задача № 6: