Методическая разработка темы «Применение производной для решения прикладных задач по математике»

Методическая разработка темы «Применение производной для решения прикладных задач по математике»Составил Рейш Е.А., преподаватель спецдисциплин2016 г. Важным свойством производной функции является ее способность определять точки экстремумов, т.е. значения аргумента, при которых функция имеет максимальное (или минимальное) значение. Именно такую направленность имеют многие прикладные задачи по различным техническим дисциплинам. Одну из таких задач мы постараемся решить. Задача Требуется определить оптимальные размеры коробки квадратной формы, изготовленной из листа металла размером 1х1 м путем вырезания по углам квадратов и последующего изгибания для получения вертикальных стенок (Рис.1), при которых объем коробки будет максимальным. Рис.1 В зависимости от размеров вырезаемых квадратов можно изготовить коробку самых различных размеров – от самой мелкой, но - широкой до самой высокой, но – узкой . Но только один единственный размер квадрата будет соответствовать наибольшему объёму коробки. (Рис.2) Рис.2Назад Практически эта функция определена для множества всех действительных значений х, однако для данной задачи имеются определенные ограничения. Во-первых, х может принимать только положительные значения. Но и положительные значения не могут быть равными или большими, чем ½ м, так как при достижении х=1/2 площадь основания коробки становится равной нулю. Поэтому областью определения функции является множество значений х таких, что 0<x< ½. Для определения точки экстремума функции определим ее производную и определим значение х, при котором она обращается в нуль. Обозначим этот неизвестный размер буквой x. Тогда из нашего листа после вырезания квадратов и загиба бортов получится коробка размерами (1-2х) х (1-2х) х (х), (Рис.2) Объем ее будет равен х(1-2х)(1-2х) , м³. (1)Выразим (1) как некоторую функцию, аргументом которой является х. ПолучаемV(x) = x(1-2x)(1-2x).После раскрытия скобок получаем V(x) = 4х³-4х²+х . Производная функции V´(х) = 12х²-8х+1, 12х²-8х+1=0 х =( 8+- √64-48)/24 x₁=1/6 , x₂=1/2 /Очевидно, что х₂=1/2 не удовлетворяет условию , так как при вырезании квадратов со стороной ½ м не остается места для дна коробки. Поэтому искомой величиной х является х=1/6 м. Для подтверждения полученного результата построим график y= 4х³-4х²+х, (Рис. 3) Рис.3y1100,51/6|Рис.3 Как видно из графика на , в интервале (0;0,5) функция имеет максимум в точке х=1/6, что полностью соответствует результатам проведенного исследования с помощью производной. Нет необходимости показывать, насколько трудоемким было бы решение этой задачи, если бы пришлось производить вычисления значений функции для множества значений х, чтобы определить точку максимума.рис.3