Презентация по математике на тему Свойство хорд и диаметров (8 класс)

Тихомирова Г. Ю. МБОУ «СОШ № 23 г. Владивостока»Свойства хорд и диаметровOABCDODBPACСABOD






























Окружность 12Круг3Центр4адиусОКРУЖНОСТЬХОРДАРазгадайте ребусРазгадайте ребус











Свойство 1. Диаметр, проходящий через серединухорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.СABOED E – середина AB, медиана OE – высота треугольника AOB. Так как диаметр CD проходит через точку E, то Свойство 2. Диаметр, перпендикулярный хордепроходит через середину этой хорды.ABOEСD OE – медианаравнобедренного треугольника AOB,следовательно AE=EB.




















Вывод. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он проходит через её середину. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины этой хорды.


Свойство 3. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра.Если AB = CD, P – середина AB, Q – середина CD, то по свойству 1 2. Если PO = QO, следовательно по гипотенузеOQDBPACODBPACQпо гипотенузе и катету, следовательно PO = QO.и катету, следовательно AP = CQ, следовательно AB=CD.

































Свойство 4. Хорды данной окружности равны тогда итолько тогда, когда они стягивают равные центральныеуглы (или равные хорды видны из центра окружностипод равными углами и наоборот).Доказательство непосредственно следует из равенстватреугольников АОВ и СОD.OABCDODCAB



























Задача 1. Объясните, почему из точки A данной окружности выходит не больше двух хорд заданной длины.ACBKODПредположим противное: AB=AC=AK=l, луч AK совпадает с лучом AB. Противоречие.Задача 2. Доказать, что хорда BC перпендикулярна диаметру, выходящему из A, если AB и AC – равные хорды.ACBDOBA=AC=> медиана AE равнобедренного треугольника BAC – высота.OB=OC=> медиана OE равнобедренного треугольника BOC – высота.В силу единственности перпендикуляра






Задача 3. Объясните, почему из точки A внутри данной окружности проходит не больше двух хорд заданной длины.DB1DBOA.HH1CED1Предположим противное: CE=BD=B1D1=l, => луч AB совпадает с лучом AB1. Противоречие.Задача 4. Если через точку А, лежащую внутри круга, проведены две хорды ВD и СЕ, равной длины, то диаметр, проходящий через точку А, перпендикулярен хордам ВЕ и СD.





Задача 5. Две хорды окружности радиуса R параллельны, одна видна из центра под углом α, а другая под углом β. Чему равно расстояние между ними?ABCDOHH1αβRABCDOHH1Rα


Задача 6. В круге радиусом R через точку внутри его проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной d. а) Найдите расстояние от центра круга до точки пересечения хорд. б) Найдите расстояние между концами этих хорд. в) Решите задачу б), если длины хорд равны d1 и d2 . г) Решите задачу б), если длины хорд равны d, а угол между ними φ. АDBH1HCOEРешение:a)Четырёхугольник OHEH1 – квадрат.б)





АBH1EOHCDв)



АCOKH1HEBF.Dг)𝜑 


Задача 7. Две окружности радиусами R1 и R2 с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В . а) Докажите, что . . . Докажите, что АВ делится прямой О1О2 пополам. б) Выразите длину отрезка АВ через R1, R2 O1O2=a . Решение: а) – равнобедренный.F – середина AB.Медиана O1F – высота. Значит АналогичноАО2BО1FИз единственности перпендикуляра к AB из точки F следует O1O2 – серединный перпендикуляр к AB.R1R2




АO2BО1Fб)
Задача 8. От точки A окружности радиусом R отложили две хорды AB и AC длиной d. Хорду AB продолжили за точку A на расстояние d до точки D.Чему равно CD?EРешение. 𝝋 О 𝒅 𝒅 𝑲 𝑹 𝑩 𝑪 D 𝑨