Презентация по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод хорд.

МЕТОД ХОРД (метод ложного положения;метод линейного интерполирования;метод пропорциональных частей») Кондраткова Т.А.,учитель информатики в.к.к. ГОУ лицея № 82 Петроградского района СПб. 28.11.2011 Численные методы решения уравнений Четыре варианта поведения функции на отрезке в окрестности корня ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: Дано уравнение f(x) =0, где f(x) – непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b) производные первого и второго порядка: f’(x) и f’’(x).Корень ξ уравнения f(x) =0 отделён на отрезке [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0Требуется определить вещественный корень этого уравнения, заключенный на отрезке [a,b] с точностью ε. Геометрический смысл метода Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что на достаточно малом отрезке [a,b] дуга кривой Y=f(x) заменяется стягивающей её хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью абсцисс. Первый случай: (первая и вторая производные имеют одинаковые знаки f’(x)*f’’(x)>0 Первый случай: (первая и вторая произврдные имеют одинаковые знаки f’(x)*f’’(x)>0 (y-f(a))/(f(b)-f(a)=(x-a)/(b-a)X1= a- f(a)(b-a)/(f(b)-f(a))X2= X1- f(X1)(b-X1)/(f(b)-f(X1))…Xn+1=Xn – f(Xn)(b-Xn)/(f(b)-f(Xn)) Второй случай: (первая и вторая производные имеют одинаковые знаки f’(x)*f’’(x)<0 Второй случай: (первая и вторая произврдные имеют одинаковые знаки f’(x)*f’’(x)<0 (y-f(b))/(f(b)-f(a)=(x-b)/(b-a)X1= b- f(b)(b-a)/(f(b)-f(a))X2= X1- f(X1)(X1-a)/(f(b)-f(X1))…Xn+1=Xn – f(Xn)(a-Xn)/(f(a) - f(Xn) ) ПРАВИЛОвыбора начального приближения: При выборе формул неподвижным концом следует выбрать тот конец отрезка [a,b],в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.Если f(b)*f’’(b)>0, то неподвижным концом является конец в, а все приближения к корню лежат со стороны конца a. Точностьприближения | ξ –Xn|<|Xn+1-Xn| Следовательно точность достигнута, если|f(Xn)(Xn-a)/(f (Xn)-f(a))|< εИли|f(Xn)(Xn-b)/(f (Xn)-f(b))|< ε Замечание 1: Формулы справедливы на достаточно малых отрезках [a,b] , если выполняется условие:M<2*m, где M =max|f’ (x)| [a,b] m=min|f’(x)| [a,b] X3-2X2-X+2=0 [-1.5,0.5] E=0.001 Результат:X= -1 ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ Описание данных в программе Var x,x1,a,b,c,e,R:real; Function f(t:real):real; Begin F:=sqr(t)*t-2*sqr(t)-t+2; End; Function f1(t:real):real; Begin F:=3*sqr(t)-4*t-1; End; Function f2(t:real):real; Begin F:=6*t-4; End; Текстовое описание алгоритма метода Ввести точность E;Ввести концы отрезка [a,b], сделать проверку существования корня на этом отрезке;Выбрать неподвижный конец и начальное приближение:Если f(a)*f2(a)>0, то C=a, x=b иначе C=b, x=a;Вычислить R:=f(Xn)(Xn-C)/(f (Xn)-f(C));Вычислить X1:=X-R; X:=X1 Сделать проверку точности:Если abs(R)>E, то и повторить с пункта 4., иначе конец цикла;Печать приближенного значения корня X1;Конец программы. Задание на дом: Знать определения; Знать геометрический смысл метода Ньютона; Знать геометрический смысл метода хорд.