Презентация по информатике. Программирование. Приближенные методы решения уравнений. Метод простой итерации.

МЕТОДПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ Кондраткова Т.А.,учитель информатики в.к.к. ГОУ лицея № 82 Петроградского района СПб. 22.11.2011 Численные методы решения уравнений Вопросыдля повторения: Что значит решить уравнение f(x)=0? Дайте определение корня уравнения?Объясните геометрический смысл корня? Вопросыдля повторения: В каких случаях мы прибегаем к численным методам решения уравнений? Что значит корень вычислен с заданной степенью точности ε ? Вопросыдля повторения: Теорема 1 о существовании корня на отрезке? Необходимое условие существования корня. Теорема 2 о существовании корня на отрезке? Необходимое и достаточное условие существования корня. Теорема 3 о существовании корня на отрезке? Вопросыдля повторения: Из каких этапов состоит процесс нахождения корней приближенными (численными) методами? Что значит отделить корни? Когда корень считается отделённым на отрезке? ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: Пусть дано уравнение f(x) =0, где f(x) - непрерывная функция. Требуется определить вещественный корень этого уравнения, заключенный на отрезке [a,b].Заменим уравнение f(x) =0равносильным ему уравнением X = φ (x) (1)Выберем каким-либо способом X0 є [a,b] и подставим его в правую часть уравнения (1);тогда получимX1= φ (X0)Затем это значение X1 подставим снова в правую часть уравнения (1) и получим X2= φ (X1)Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел Xn= φ (Xn-1) ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: Возможны два случая: 1. Последовательность X0, X1, X2, …, Xn, … сходится, т.е. имеет предел, и тогда этот предел будет корнем уравнения f(x) =0;lim Xn =ξn → ∞2. Последовательность X0, X1, X2, …, Xn, … расходится, т.е. не имеет предела. Теорема о сходимости итерационного процесса Пусть на отрезке [a,b] имеется единственный корень уравнения X = φ (X).Если во всех точках этого отрезка производная φ ’(X) удовлетворяет неравенству |φ ’ (X)| <=q <1Если при этом выполняется условие a<=φ (X)<=b , то итерационный процесс сходится,а за первое приближение можно взять любое число из отрезка [a,b].Последнее условие означает, что все приближения X0, X1, X2, …, Xn, … находятся на отрезке [a,b]. Чем меньше |φ ’ (X)|, тем лучше сходится итерационный процесс. Итерационный процесс сходится Итерационный процесс расходится Точностьприближения Пусть ξ точное значение корня уравнения X = φ (X) , а число q определяется из соотношения|φ ’ (X)| <=q <1 (Практически q можно получить как верхнюю границу модуля производной | φ’ (x)| при X є [a,b]) Тогда справедливо соотношение| ξ – Xn |<=q/(1-q) |Xn- Xn-1|Если поставить условие, что истинное значение корня должно отличаться от приближенного значения на величину ε , т. е. | ξ – Xn |<= ε , то приближения X0, X1, X2, …, Xn, … надо вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство:q/(1-q) |Xn- Xn-1| <= ε или |Xn- Xn-1|<= ε (1-q)/q Замечание: Уравнение f(X) =0 привести к виду x = φ (x) можно различными способами, однако для применения метода простой итерации следует взять то из них, для которого выполняется теорема о сходимости. Описание данных в программе Var X2, X1, q, E: real; Function f(t:real):real; Begin F:=exp(t)-2; End; БЛОК-СХЕМА ex-x2=0 или x=-ex[-0.725;-0.7] , X1=-0.7 q=0.36e=0.00001X2=-0.70346 ex-x-2=0 или x = ex-2Начальное приближение X1=-2 q =0.5Точность вычислений Е=0.00000001Ответ: X2=-1.84140567 ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ Задание на дом: По конспекту выучить основные определения и понятия. Знать алгоритм итерационного метода. (Блок-схема). Преобразовать программу: использовать цикл с постусловием.