Презентация по математике на тему Основная теорема алгебры. Разложение на множители. Теорема Виета.

Многочлены Основная теорема алгебры Разложение на множители Теорема Виета Многочлены. Разложение многочленов на множители Многочленом (или полиномом) n-ой степени от неизвестного x называют выражение . Коэффициенты этого многочлена – произвольные действительные или комплексные числа, причем старший коэффициент . Два многочлена и считаются равными в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной. Помимо многочленов первой степени, квадратных, кубических и т.д., многочленом нулевой степени считают действительные или комплексные числа, отличные от нуля. Число нуль считается многочленом, степень которого неопределенна. На множестве многочленов определены операции сложения, умножения, которые удовлетворяют свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Для умножения многочленов обратная операция – деление – не существует. Для любых двух многочленов, которые обозначим как целые функции , , можно найти такие многочлены и , что . Если , то делится на . Многочлены и будут делителями этого многочлена. Если у многочленов инет общих делителей, то они взаимно простые. Если , а c – некоторое число, то число , полученное заменой переменной числом c, называется значением многочлена при x = c. Если , то x = c называется корнем многочлена.Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при x = c.Следствие. Число c тогда и только тогда будет корнем многочлена , если делится на . Может оказаться, что многочлен делится не только на , но и на более высокие его степени, т.е. , где многочлен уже не делится на . Число k называется кратностью корня c, сам корень c – k-кратным корнем многочлена . Если , то говорят, что корень – простой. Известно, что существует многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие действительных корней: – один из таких многочленов. Основная теорема алгебры. Теорема Виета. Теорема. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. Из основной теоремы следует, что после конечного числа шагов мы придем к разложению многочлена n-ой степени в произведение k линейных множителей.(1)где - действительные или комплексные корни.Разложение (1) является для многочлена единственным с точностью до порядка сомножителей разложением такого типа. Всякий многочлен степени , с любыми числовыми коэффициентами имеет корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его краткость.Формула Виета. Пусть в разложении (1) многочлена , тогда . Перемножая скобки, приведя подобные члены и сравнивая полученные коэффициенты с коэффициентами из (1), мы получим равенства, называемые формулами Виета, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни:(2) Если , то для применения формулы (2) необходимо сначала разделить все коэффициенты на . Пусть у многочлена все коэффициенты действительные числа и имеется комплексный корень , т.е. Известно, что последнее равенство не нарушится, ели в нем все числа заменены на сопряженные, при этом все коэффициенты останутся без изменения , то есть . Если комплексное число служит корнем многочлена с действительными коэффициентами, то корнем для будет и сопряженное число . Следовательно, многочлен будет делиться на квадратный трехчлен , коэффициенты которого действительные числа. Таким образом, комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представим, притом единственным способом (с точностью до порядков множителей), в виде произведения своего старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида , соответствующих его действительным корням, и квадратных вида , соответствующих парам сопряженных комплексных корней. Алгебраические уравнения и его корни Задачу «найти все корни данного многочлена » принято также формулировать следующим образом: «решить уравнение ». Например, говоря о квадратном уравнении , мы тем самым ставим задачу найти корни квадратного трехчлена Корни многочлена называются также корнями уравнения . Алгебраическим уравнением n-ой степени называется уравнение Теорема 1. Если a -корень многочлена, то этот многочлен делится на a.Теорема 2. Пусть и – два произвольных многочлена. Число a в том и только в том случае является корнем уравнения , если оно является корнем хотя бы одного из уравнений , . Из этой теоремы вытекает важное следствие. Если – корень уравнения , то и нахождениеостальных корней уравнения сводится к решению уравнения , степень которого . Теорема 3. Если все коэффициенты многочлена является целыми и , то всякий целый корень уравнения является делителем свободного члена . Эта теорема облегчает отыскание целых корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Надо взять свободный член и выписать все его делители. После этого надо проверить, какие из них являются корнями уравнения. Если же окажется, что ни один делитель не обращает многочлен в нуль, то уравнение целых корней не имеет.Теорема 4. Каждое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней.Задания для самостоятельной работы.1. Ответить на вопросы:Как разложить многочлен на множители? Как определить порядок многочлена? Можно ли поделить многочлен на многочлен?2. Составить многочлен третьей степени, имеющий простые корни 1, 2 и 3.3. Решите уравнение