Презентация на тему Критические точки и экстремумы функции (1 курс)

Критические точки и экстремумы функции Девиз урока: Слушаю – забываю Смотрю – запоминаю Делаю – понимаю Сегодня на уроке повторим правила нахождения производной, признаки возрастания и убывания функции, познакомимся с понятием критических точек функции, научимся находить критические точки и экстремумы функции с помощью производной. Выполним тест на нахождение производной1 вариант 2 вариант №Найдите производную функций:Ответы1𝒇𝒙=𝟓𝒙−𝟑а)  𝟏𝟓𝒙−𝟒 б) −𝟏𝟓𝒙−𝟒 в) −𝟏𝟓𝒙−𝟐2𝒇𝒙=𝟕𝒙𝟗 а)  𝟔𝟑𝒙𝟖       б) 𝟔𝟑𝒙𝟗в) 𝟕𝒙𝟖3𝒇𝒙=𝟏𝟎𝒙а)  𝟓𝒙  б) 𝒙𝟓в) 𝟓𝒙4 𝒇𝒙=𝟔𝒙𝟖а)  𝟒𝟖𝒙𝟕                б) −𝟒𝟖𝒙−𝟗в) 𝟔𝒙−𝟗5𝒇𝒙=𝟐𝒙𝟕−𝟒𝒙𝟓+𝟐𝒙𝟑−𝒙а) 𝟏𝟒𝒙𝟔−𝟐𝟎𝒙𝟒+𝟔𝒙𝟐−𝟏 б) 𝟐𝒙𝟔−𝟒𝒙𝟒+𝟐𝒙𝟐−𝟏в) 𝟏𝟒𝒙𝟕−𝟐𝟎𝒙𝟓+𝟔𝒙𝟑−𝒙6𝒇𝒙=𝟒𝒙−𝟓𝒙𝟐 а)  𝟐𝒙−𝟏𝟎𝒙         б) 𝟐𝒙−𝟏𝟎𝒙в) 𝒙𝟐−𝟏𝟎𝒙7 𝒇𝒙=𝒙𝒙 а)  𝟐𝒙𝟑                      б) ,𝟑х𝟐𝒙в) 𝟑𝒙𝟐8 𝒇𝒙=𝟑+𝟐𝒙𝒙−𝟓 а) −𝟏𝟑𝒙−𝟓𝟐              б) 𝟖(𝒙−𝟓)𝟐в) −𝟓(𝒙−𝟓)𝟐9𝒈𝒙=𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 а) 𝟐𝐜𝐨𝐬𝒙            б) 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙в) 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙10h(x)=3𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙 а) −𝟑𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙б) −𝟏𝟐𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙в) −𝟑𝐬𝐢𝐧𝟏𝟐𝒙№Найдите производную функций:Ответы12345678910№Найдите производную функций:Ответы1𝒇𝒙=𝟕𝐱𝟐а)  𝟕𝐱 б) 𝟏𝟒𝐱𝟐 в) 𝟏𝟒𝐱2𝒇𝒙=−𝟖𝐱𝟒 а) −𝟑𝟐𝐱𝟒 б) −𝟑𝟐𝐱𝟑 в) −𝟖𝐱𝟑3𝒇𝒙=𝟒𝐱  а)   𝟐𝐱 б) 𝐱𝟐 в) 𝟐𝐱 4𝒇𝒙=𝟗𝐱𝟕 а)  𝟔𝟑𝐱−𝟔 б) −𝟔𝟑𝐱−𝟖 в)  𝟗𝐱−𝟔5𝒇𝒙=𝟑𝐱𝟒−𝟓𝐱𝟐−𝐱+𝟒  а) 𝟏𝟐𝐱𝟒−𝟏𝟎𝐱𝟐−𝐱 б) 𝟏𝟐𝐱𝟑−𝟏𝟎𝐱−𝟏 в) 𝟑𝐱𝟑−𝟓𝐱𝟐−𝟏6𝒇𝒙=𝟕𝒙𝟑+𝟐𝒙  а)  𝟐𝟏𝐱𝟐+𝐱 б) 𝟕𝐱𝟐+𝟏𝐱 в) 𝟐𝟏𝐱𝟐+𝟏𝐱7𝒇𝒙=(𝒙+𝟐)𝒙 а)  𝟑𝐱+𝟐𝟐𝐱 б) 𝐱+𝟐𝟐𝐱 в) 𝟐𝐱+𝟑𝟐𝐱8𝒇𝒙=𝟒+𝟑𝒙𝒙+𝟐  а) 𝟐(𝐱+𝟐)𝟐 б) −𝟐(𝐱+𝟐)𝟐 в) 𝟕(𝐱+𝟐)𝟐9 𝒈𝒙=𝟑𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 а) 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 б) 𝟔𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 в) 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟔𝐱10h(x)=𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 а) −𝐬𝐢𝐧𝟒𝐱 б) −𝟒𝐬𝐢𝐧𝐱 в) −𝟒𝐬𝐢𝐧𝟒𝐱 №Найдите производную функций:Ответы12345678910 Выполним задание на нахождение промежутков возрастания и убывания функцииРис.11 вариант2. На рис.1 дан график функции y=f(х). По графику найдите промежутки, на которых производная функции положительная.3. На рис.2 дан график функции y=f(х). С помощью графика определите промежутки, на которых функция убывает.Рис.22 вариант1. На рис.1 дан график функции y=f(х). По графику найдите промежутки, на которых производная функции отрицательная.2. На рис.2 дан график функции y=f(х). С помощью графика определите промежутки, на которых функция возрастает. Проверим ответы учащихся № задания 1 вариант 2 вариант 1 тест1в2а3в4б5а6а7б8а9в10б1в2б3а4б5б6в7а8а9б10в 2 f´(х)>0 на промежутках [-5;-3] U [0;1] U [2;3)  f´(х)<0 на промежутках (-8;-5] U [-3;0] U [1;2]3f(х) убывает на промежутках [х1;х2] U [х3;х4]f(х) возрастает на промежутках (-∞;х1] U [х2; х3] U [х4; +∞) Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Критические точки могут быть точками экстремума.Тема урока: Критические точки и экстремумы функции Необходимое условие существования экстремума функции: Теорема. Если точка х0 является точкой экстремума и в окрестности этой точки функция имеет производную f´(х), то она в этой точке равна нулю, т.е. f´(х0)=0Достаточное условие существования экстремума функции: Теорема. Если функция f(х) непрерывна в точке х0 и на интервале (a; х0) f´(х)>0, то точка х0 является точкой максимума функции f(х). Если функция f(х) непрерывна в точке х0 и на интервале (a; х0) f´(х)<0, то точка х0 является точкой минимума функции f(х). Упрощенная формулировка достаточного условия: Если в точке х0 производная меняет знак с (+) на (-), то х0 является точкой максимума. Если в точке х0 производная меняет знак с (-) на (+), то х0 является точкой минимума.х=-2 – точка максимума,х=0 – точка минимума Алгоритм нахождения точек экстремума функции:1) найти производную функции;2) найти критические точки, т.е. решить уравнение f´(х)=0;3) с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях критических точек;4) используя достаточные условия существования экстремума, найти точки максимума и минимумаПример: Найдите точки экстремума функции f(х)=2х4 – 4х2 +1f´(х)= 8х3 – 8х f´(х)=0 т.е. 8х3 – 8х =0 8х(х2 – 1)=0 8х=0 или х2 – 1=0 х=0 х2 =1 х₁=-1; х₂=1Ответ: х₁=-1; х₂=1 С помощью графиков функций найдите промежутки возрастания, убывания функции и точки экстремума С помощью графиков функций найдите промежутки возрастания, убывания функции и точки экстремума а) f(х)=13х - х2 +4 б) f(х)=0,5х2 - 2х - 2,5 в) f(х)=2х3 + 3х2 - 12х г) f(х)=1+2sinх Найдите критические точки функции, определите, какие из них являются точками максимума, какие – точками минимума? Отгадайте кроссворд1) Как называется нахождение производной данной функции f ? 2) Как называется точка, в которой производная меняет знак с «+» на «-» ? 3) Переменная x в задании функции y = - 3x + 4? 4) Какой ученый ввел термин «производная»? 5) Как называется прямая, проходящая через т.(x0; f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f ' (x0)? Сегодня на уроке повторили признаки возрастания и убывания функции, познакомились с понятием критических точек функции, научились находить критические точки и экстремумы функции с помощью производной.Задание на дом: §20, решить упражнение 233 Молодцы!Спасибо за работу!