Проектирование многоуровневой системы задач с параметром курса 7-9 классов. Линейные уравнения.

Многоуровневая система задач в соответствии с требованиями ФГОС ООО. «Проектирование многоуровневой системы задач с параметром курса 7-9 классов. Линейные уравнения» Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи постоянно предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы. Хотя на ЕГЭ встречается всего одна-две задачи с параметрами, но те школьники, которые хотят получить высший балл по ЕГЭ, должны уметь их решать. Поэтому начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. По задачам с параметрами уже вышел ряд книг и пособий. Но большинство из них предполагают наличие у школьника высокой математической культуры, а также значительного объема математических фактов, которые в школе изучаются весьма поверхностно или совсем не изучаются. Поэтому школьникам обычных школ зачастую эти книги не доступны для понимания. Разбираться в них могут только школьники продвинутых математических классов. Спроектируем многоуровневую систему задач с параметрами, для решения линейных уравнений в курсах 7-9 классов. Базовые задачи При всех значениях параметра а решить уравнения: 1)2)3)4)5) Решение задач Пример 1. Для всех значений параметра а решите уравнение х – а = 0.Ответ: х = а при любом а. Этот пример напоминает, что при решении задач с параметрами нужно находить неизвестную, и указывать, при каких значениях параметра ответ имеет смысл. Пример 2. Для всех значений параметра а решите уравнение ах = 1. Решение: При а = 0 данное уравнение решений не имеет, и в ответе это обстоятельство должно быть отражено.Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 решение . Пример 3. Исследовать и решить уравнение с параметром Решение: Найдём контрольные значения параметра, т.е. такие значения при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2. а) При а =0 уравнение принимает вид 0х = -2. Это уравнение корней не имеет.б) При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.в) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из исходного уравнения получаем , откуда .Ответ: 1) при а =0 корней нет. 2) при а = 2 х – любое действительное число. 3) при то Пример 5. Исследовать и решить уравнение с параметром а2 (х – 5) = 25 (х – а) Выполнив ряд преобразований, приведём уравнение к виду, наиболее удобному для исследования: а2х – 5а2 = 25х – 25а; (а2 – 25)х = 5а2 – 25а; (а-5)(а+5)х = 5а(а-5). а) при ед. х ; .б) Если а = 5, то 0х = 0, следовательно, любое х есть решение.в) Если а = - 5, то 0х = 250, следовательно, решений нет. Графическая иллюстрация исследования по параметру а: -5 5 а 3) 1) 2) Ответ: 1) при ед. х .2) при а = 5, любое х есть решение;3) при а = -5, решений нет. Модифицированные задачи Модификация (или видоизменение) задач происходит по следующим направлениям:увеличение технической сложности и трудности задачи;варьирование известного алгоритма решения задач (переформулировать условие задачи);необычная форма представления условия задачи (когда сразу не видно применение известного алгоритма решения). Примеры:При каких значениях параметра а уравнение . имеет целые корни.При каких значениях параметра n уравнение а) имеет единственный корень;б) имеет бесконечное множество корней;в) не имеет корней.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения и имеют общий кореньПри всех значениях параметра а решить уравнение |2х + 8| + |2х - 6| = а Решение задач Пример1. При каких целых значениях параметра а уравнение имеет целые корни.Решение: Приведём уравнение к виду , если то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения было делителем числа 5, то есть может быть равно 1; -1; 5; -5. Перебором находим, что .Ответ: при Нестандартные задачи Решение нестандартных (незнакомых) задач сложно как в техническом, так и в логическом плане. Учащийся должен уметь ориентироваться в новой ситуации, выдвигать и опровергать гипотезы, подключать новые идеи решения задач.Такие задачи часто имеют довольно громоздкие упрощения и вычисления. Кроме этого само понимание условия таких задач требует логического мышления высокого уровня. Задачи: 1)При каком значении параметра а уравнение а) имеет 1 решение;б) имеет 2 решения;в) не имеет решений.2)Решите уравнение 3)Исследовать и решить уравнение с параметром