Презентация по математике на тему Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Решение задач на оптимизацию

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции (при решении задач прикладного характера). Через математические знания лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий.Маркушевич А.И. Презентацию подготовила преподаватель 1 категории ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум» Крупина Наталья Александровна (xІ)′= (2xі)′= (7x)′= (10)′= (128 )′= (5xІ + 3x - 9 )′= 2x 0 0 7 10x 9 10x + 3 (x 10 )′= 1 3 )′= ( Самостоятельная работа по теме «Производная» АЛГОРИТМ Найти точки экстремума функции, т. е. точки в которых производная равна нулю и меняет свой знак.Вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка, где определена функция.Выбрать из полученных значений оптимальное. Перевести задачу на язык математики, т. е. выразить искомую величину через функцию от некоторой переменной и найти область её определения. Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y(4) = 43– 27 4 = – 44 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) y(0) = 0 Алгоритм решения задач Этапы 1. Найти f /(x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x2 – 27 2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y(3) = 33– 27 3 = –54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y\ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным. наибольшее значение наибольшее значение наименьшеезначение наименьшеезначение a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает наибольшее значение наименьшеезначение a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение. Выполните задание: Найти промежутки возрастания и убывания функции.Найти экстремумы функции.Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 1) [-4;6] и 2) [-4;3] 1) y = xі - 3· xІ - 45х+1 2) Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью. Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы? A B C D AC+CD+DB=L x x L - 2x Переведём задачу на язык математики. S = x(L-2x) У = x(L-2x) → max У′ = L – 4x 0,25L + — max Данный прямоугольник является половиной квадрата, длинной стороной примыкающей к берегу моря. 2. У′ = 0 ; L = 4x x = 0,25L 3. 4. AC = 0,25L ;DC = 0,5L У = Lx – 2xІ Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной страницы книги должен занимать 400 смІ. Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см. Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из экономии бумаги? A B C D K L M N 4 4 2 2 S = 400 смІ х 400/х AB = x BC = 400/x KL = 400/x + 8 KN = x + 4 S = 1600/x + 8x + 432 → min 1. S′ = -1600/xІ + 8 2. S′ = 0; -1600/xІ + 8 = 0 1600/xІ = 8 xІ = 1600/8 x ≈ 14 3. — + min 14 Оптимальные размеры страницы 18х36,5 см. 4. KN = х + 4=18 KL = 400/x + 8≈36,5 Вывод: Производная функции успешно применяется при решении оптимальных задач в различных сферах деятельности человека. Д/з решить задачу: Рекламный щит имеет форму прямоугольника S = 9 мІ. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром. Определите его стоимость, если суммарная цена материалов и работ по изготовлению за 1 мІ составляет 200 грн + 25 грн за погонный метр длины щита. Спасибо за урок! Все молодцы!