Презентация по математике на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии(9 класс)

Семинар-практикум "Арифметическая и геометрическая прогрессии". Цели и задачи урока: Образовательные: обобщить, расширить и углубить знания по применению свойств арифметической и геометрической прогрессии к решению задач;проверить сформированность умений и навыков; Развивающие: развить интерес учащихся к предмету, их стремление глубже усвоить предмет и навыки индивидуальной, групповой и коллективной работы; Воспитательные: воспитывать чувства товарищества и взаимопомощи. Последовательность задана формулой yn=11-3*n. Найдите: у8; ук-1. 1. Последовательность (вn) – арифметическая прогрессия , первый член которого равен в1, а разность d. Выразите через в1 и d : в26; вк+5 2. (аn )-арифметическая прогрессия, а1 =10; d = - 0,1. Найдиде а 4 . Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. Конечно же, в Древнем мире не пользовались нашими стандартными понятиями и формулами. Впервые, формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III в. н. э.). Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году. Наука о числах Много в этой области работал знаменитый немецкий математик К.Гаусс (1777 г.-1855г.) Он еще в детстве за 1 минуту сложил все числа от 1 до 100. Но, несмотря на пятидесяти вековую древность различных задач на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В первом учебнике “Арифметика” Леонида Филипповича Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собою, в нем не дано. Поэтому сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами. Решение задач Задача 1 В геометрической прогрессии b1=12,8 и q=1/4. Найдите b7. Решение: b7 =b1∙q6=12,8∙(1/4)6= 128 / 10 . 212 = = 27 / 10 . 212 = 1/320. Задача 2 Из данных последовательностей назовите арифметическую последовательность и указать разность и геометрическую прогрессию и указать знаменатель геометрической прогрессии. 2,12,22,32… 5,5,5,…3. 1,3,9,27,…4. 1,2,3,4,5….5. -2,-6,-10,…6. 2,4,8,16,… Задача 2 Найдем восьмой член геометрической прогрессии (bn), если b1 =162 и b3 =18. Решение : используя формулу (*), найдем знаменатель q.Так как b3=b1∙q2, то q2=b3 / b1=18 / 162=1/9.Решив уравнение q2 = 1/9, получим q = ±1/3. Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.Если q = 1/3, то b8 =b1∙q7=2/27.Если q = -1/3, то b8 = -2/27. Задача имеет два решения: b8 = 2/27 и b8 = -2/27. Задача 3 Решение : 10% = 0,1. Коэффициент увеличения вклада равен 1,1. Имеем геометрическую прогрессию (сn ).с1 = 1000 р., q = 1,1. с4 – вклад через три года. Следовательно, с4 = с1 . q3 = 1000 . (1,1)3 = 1331. Через три года вклад будет равен 1331 р. Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года? Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. "В доме было 7 кошек. Каждая кошка съедает 7 мышей. Каждая мышь съедает 7 колосьев.Каждый колос дает 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?". Найдите ответ к этой задаче. Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607. Ответ: 19607. В написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Пример. Обратим периодическую дробь 0,58(3) в обыкновенную. Пример. Обратим периодическую дробь 0,58(3) в обыкновенную.Решение: запишем данную дробь в виде0,5833333…=0,58+0,003+0,0003+…== 58 + 0,003 = 7 . 100 1-0,01 12= Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую -2, за третью еще в два раза больше, т. е. 4, за четвертую - еще в два раза больше и т.д. на 1-ю 1, на 33-ю 4 294 967 296 на 2-ю 2, на 34-ю 8 589 934 592 на 3-ю 4, на 35-ю 17 179 869 184 на 4-ю 8, на 36-ю 34 359 738 368 ……………………………………………… на 62-ю 2 305 843 009 213 693 952 на 63-ю 4 611 686 018 427 387 904 на 64-ю 9 223 372 036 854 775 808 S 64 = 2 - 1= =18 446 744 073 704 551 615 64 S 64 = 2 - 1 = 1,64 10 - стандартный вид данного числа 64 19 Задача 1 . Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии, если сумма первого и пятого членов равна 24, а произведение второго и третьего равна 60. Задача 2 . Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии. Повторить п. №Подготов. к контрольной работе