Презентация по математике на тему Олимпиада по математике

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАПВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕПриморский край 2016-2017 уч. годТихомирова Галина Юрьевна МБОУ «СОШ № 23 г. Владивостока» Количество участников муниципального этапаВсероссийской олимпиады школьников по математике, 2016/17 учебный годг. Владивосток{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Класс 7 891011Количество1361311163523441 участник Задания 7 - 8 классаДокажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6. Решение. Из двух последовательных целых чисел одно будет четным. Из трех последовательных целых чисел одно делится на 3. Поэтому в произведении трёх последовательных целых чисел есть хотя бы одно чётное число и одно делящееся на 3. Следовательно, произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6. Задания 7 - 8 класса2. Цветы ромашки при сушке теряют 84% своего веса. Сколько килограммов цветов ромашки надо собрать, чтобы сдать в аптеку 36 кг сухих цветов?Решение. х : 36=100 : 16; 0,16 х = 36; х = 225. {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Масса ромашки, кг%собраннойx100высушенной36100-84Ответ: 225 кг. Задания 7 - 8 класса3. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то он равнобедренный.Р – точка пересечения медиан => 𝐵𝑃:𝑃𝐵1=𝐶𝑃:𝐶𝐶1=2:1 и  𝐵𝐵1=𝐶𝐶1=>𝐵𝑃=𝐶𝑃⇒⊿𝐶𝑃𝐵  р/б⇒ ∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑃𝐶𝐵=> ∠𝐵1𝐵𝐶=∠𝐶1𝐶𝐵,              ⊿𝐵1𝐵𝐶 = ⊿𝐶1𝐶𝐵 по СУС⇒             ∠𝐵=∠𝐶⇒⊿𝐴𝐵𝐶−р/б.  АСВВ1С1РДоказательство. Задания 7 - 8 класса4. Разложите на множители 𝒙𝟒−𝟐𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟖.Решение. 𝑥4−2𝑥3+2𝑥2+4𝑥−8=𝑥4−2𝑥2−2𝑥3+4𝑥+4𝑥2−8=𝑥2−2(𝑥2−2𝑥+4)  Задания 7 - 8 класса5. После выпуска из школы обменялись фотографическими карточками. Сколько было учеников, если они обменялись 600 карточками?       Ответ: 25. 𝑥𝑥−1=600;  Решение. Пусть 𝑥 учеников было в школе, тогда каждый раздал (𝑥 − 1) карточку, всего роздано  𝑥𝑥−1  карточка. 𝑥2−𝑥−600=0;𝑥−25𝑥+24=0;𝑥=25  Решение. Можно увидеть это из равенства отсекаемых треугольников по КК. Уравнения каждой пары таких прямых приводятся к виду (прямые параллельны) или (прямые перпендикулярны).     𝒙+𝒚=−𝒂 Задания 9 класса1. Докажите, что две прямые, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины, либо параллельны, либо перпендикулярны.𝒙+𝒚=𝒂,  𝒙−𝒚=−𝒂  𝒙+𝒚=𝒂,  yx𝒂 −𝒂 −𝒂 𝒂 𝟎  Задания 9 класса2. Докажите, что 𝒂𝒃+𝟏<𝒂+𝒃, если 𝒂>𝟏,  а  𝒃<𝟏Решение. 𝒂−𝟏>𝟎,  𝒃−𝟏<𝟎; 𝒂−𝟏𝒃−𝟏<𝟎;  𝒂𝒃−𝒂−𝒃+𝟏<𝟎;𝒂𝒃+𝟏<𝒂+𝒃.  Задания 9 класса3. В одном сплаве отношение золота к серебру 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?Решение. Пусть x кг – масса 1-го сплава, тогда(8 −𝒙) кг – масса 1-го сплава,𝟐𝟓 𝒙 кг – масса золота в 1-ом сплаве,а 𝟑𝟏𝟎𝟖−𝒙 кг – масса золота во 2-ом сплаве,и 𝟓∙𝟖𝟓+𝟏𝟏 кг – масса золота в новом сплаве. Ответ: 1 и 7 кг. 𝟐𝟓𝒙+𝟑𝟏𝟎𝟖−𝒙=𝟓∙𝟖𝟓+𝟏𝟏;𝒙=𝟏.  Пусть E и F– основания перпендикуляров, H– середина 𝐸𝐹; тогда 𝐵𝐸=𝐵𝐹=𝑎, 𝐸𝐹=𝑏. Так как 𝐷𝐻∙𝐵𝐻=𝐸𝐻2 , то 𝐷𝐻=𝑏224𝑎2−𝑏2.  Задания 9 класса4. Из вершины тупого угла ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна 𝒂, расстояние между их основаниями 𝒃. Определите сторону ромба. АСВDEFHaab Задания 9 класса4             𝑩𝑬=𝑩𝑭=𝒂,   𝑬𝑭=𝒃. Так как 𝑫𝑯∙𝑩𝑯=𝑬𝑯𝟐 , то                          𝑫𝑯=𝒃𝟐𝟐𝟒𝒂𝟐−𝒃𝟐 , 𝑩𝑫=𝒂𝟐−𝒃𝟐𝟒+𝒃𝟐𝟐𝟒𝒂𝟐−𝒃𝟐=𝟐𝒂𝟐𝟒𝒂𝟐−𝒃𝟐 𝑨𝑩𝒂=𝒃𝟐𝒂𝟐𝟒𝟒𝟐−𝒃𝟐; 𝑨𝑩=𝟐𝒂𝟑𝒃𝟒𝒂𝟐−𝒃𝟐 Ответ: 𝟐𝐚𝟑𝐛𝟒𝐚𝟐−𝐛𝟐.  АСВDEFHaab Задания 9 класса5. Сколькими способами могут распределиться золотая, серебряная и бронзовая медали, если в чемпионате участвует 10 спортсменов? Ответ: 𝟏𝟎∙𝟗∙𝟖=𝟕𝟐𝟎.   1. Если 𝒇−𝒙=−𝒇(𝒙) для любого 𝒙 из области определения, то функция называется нечётной. Докажите, что функция нечётная 𝒇𝒙=𝒙𝟐+𝟏+𝒙−𝟏𝒙𝟐+𝟏+𝒙+𝟏. Задания 10 классаДоказательство. Для 𝑥≠0 умножим числитель и знаменатель на величины, сопряжённые 𝒇−𝒙=𝒙𝟐+𝟏−𝒙−𝟏𝒙𝟐+𝟏−𝒙+𝟏=(𝒙𝟐+𝟏−𝒙−𝟏)(𝒙𝟐+𝟏−𝒙+𝟏)(𝒙𝟐+𝟏+𝒙+𝟏)(𝒙𝟐+𝟏+𝒙+𝟏)(𝒙𝟐+𝟏+𝒙−𝟏)(𝒙𝟐+𝟏+𝒙−𝟏)==𝟐𝒙(𝒙𝟐+𝟏+𝒙−𝟏)−𝟐𝒙(𝒙𝟐+𝟏+𝒙+𝟏)=−𝒇𝒙. При 𝑥=0 имеем 𝑓0=0⟹𝑓−0=−𝑓0.  Задания 10 класса2. Решите уравнение 𝟐+𝟑𝒙+𝟐−𝟑𝒙=𝟐𝒙. Решение. Разделив обе части уравнения на 𝟐𝒙, приведём уравнение к виду 𝟐+𝟑𝟒𝒙+𝟐−𝟑𝟒𝒙=𝟏. Слева функция убывающая (так как 𝟐±𝟑𝟒<𝟏), а справа константа. Такое уравнение имеет не больше одного корня. Корень 2 очевиден, и он единственный. Ответ: 2. Задания 10 класса3. Биссектриса угла С треугольника АВС делит угол между медианой и высотой пополам. Докажите, что угол С прямой.Доказательство. Пусть CН – высота, CL – биссектриса, CM – медиана; O – центр описанной окружности, N – точка пересечения биссектрисы с описанной окружностью. Тогда ∠𝑨𝑪𝑵=∠𝑩𝑪𝑵 => N – середина дуги AB => AN=BN => медиана р/б ⊿ANB   NM – высота => CH || NM, BN = AN; точка O ∈ NM.  АСВNMLH Задания 10 классаCH || NM, BN = AN; точка O ∈ NM. Так как ∠𝑴𝑪𝑳=∠𝑯𝑪𝑵=∠𝑴𝑵𝑪=   =∠𝑶𝑵𝑪=∠𝑶𝑪𝑵, то О совпадает с М; АВ – диаметр. Угол С опирается на диаметр, поэтому прямой.  АСВNMLH Задания 10 класса4. Если 𝒂+𝒃+𝒄 делится 6, то 𝒂𝟑+𝒃𝟑+𝒄𝟑 тоже делится на 6. Докажите. Все числа целые.Доказательство. 𝒂𝟑+𝒃𝟑+𝒄𝟑=𝒂−𝟏𝒂𝒂+𝟏++𝒃−𝟏𝒃𝒃+𝟏+𝒄−𝟏𝒄𝒄+𝟏+(𝒂+𝒃+𝒄)Произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6, поэтому сумма слева делится на 6.  Задания 10 класса5. На арену цирка выводятся 5 львов и 4 тигра. Сколькими способами можно расположить зверей в цепочку, если запрещено выводить тигров одного за другим?Решение. ЛЛТЛТЛТЛТ, ЛТЛЛТЛТЛТ, ЛТЛТЛЛТЛТ, ЛТЛТЛТЛЛТ, ЛТЛТЛТЛТЛ, ТЛЛЛТЛТЛТ, ТЛЛТЛЛТЛТ, ТЛЛТЛТЛЛТ, ТЛЛТЛТЛТЛ, ТЛТЛЛЛТЛТ, ТЛТЛЛТЛЛТ, ТЛТЛЛЛТЛТ, ТЛТЛТЛЛЛТ, ТЛТЛТЛЛТЛ, ТЛТЛТЛТЛЛ. Ответ. 15 способов. Задания 10 класса5. Решение.  Сначала поставим между каждыми двумя тиграми по льву (Т Л Т Л Т Л Т), чтобы два тигра точно не шли друг за другом. Осталось куда-то пристроить ещё двух львов. Тигры делят шеренгу зверей на 5 частей, в каждую из которых можно поместить любое число из оставшихся львов. Грубо говоря, этих двух львов надо «разложить» по пяти коробкам, «перегородками» между которыми служат тигры. То есть на 6 мест надо расставить двух львов и 4 «перегородки», а для этого есть C62 = 6·5 : 2 = 15 способов. (Здесь мы из шести мест выбирали те два, на которых окажутся львы.) Ответ. 15 способов. Задания 11 класса1. Найдите все значения параметра 𝒂, при каждом из которых система имеет единственное решение 𝒂𝒙𝟒+𝟏=𝒚+𝟐−𝒙,𝒙𝟐+𝒚𝟐=𝟒. Решение. Если 𝒙;𝒚− решение системы при 𝑥≠0, то−𝒙;𝒚− тоже решение. Решение единственное при 𝑥=0. А при 𝑥=0 система приобретает вид 𝒚=𝒂−𝟐,𝒚𝟐=𝟒, откуда,  𝒂=𝟎 или 𝒂=𝟒.   Задания 11 классаПри 𝒂=𝟎 система 𝑦=𝑥−2,𝑥2+𝑦2=4   имеет три решения.  При 𝒂=𝟒 система 𝑦=4𝑥4+𝑥+2𝑥2+𝑦2=4 имеет решение (0; 2). Действительно, при 𝑥≠0 из первого уравнения 𝑦>2, а из второго 𝑦<2, противоречие, т. е. решений, в которых 𝑥≠0, нет. Система имеет единственное решение при 𝒂=𝟒. Ответ. Система имеет единственное решение при 𝑎=4.  Задания 11 класса2. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найдите радиус круга.Решение. Ответ: 𝟒𝟓.  Углы А и В трапеции ABCD прямые, О – центр вписанной окружности, ОС = 2, OD = 4. Угол ∠𝑪𝑶𝑫 = 90°, как угол между биссектрисами смежных углов. Отсюда 𝑪𝑫=𝟐𝟎,    𝟏𝟐∙𝒓∙𝟐𝟎=𝟏𝟐∙𝟐∙𝟒;  𝒓=𝟒𝟓.A АСВDOH𝒓  Задания 11 класса2. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найдите радиус круга.Решение. Углы А и В трапеции ABCD прямые, О – центр вписанной окружности, ОС = 2, OD = 4. Угол ∠𝑪𝑶𝑫 прямой, как угол между биссектрисами смежных углов. Отсюда 𝑪𝑫=𝟐𝟎,   𝟏𝟐∙𝒓∙𝟐𝟎=𝟏𝟐∙𝟐∙𝟒;  𝒓=𝟒𝟓. Ответ: 𝟒𝟓.   Задания 11 класса3. Решите систему 𝟏+𝒙𝟏𝟐=𝟐𝒙𝟐,𝟏+𝒙𝟐𝟐=𝟐𝒙𝟑,𝟏+𝒙𝟑𝟐=𝟐𝒙𝟒,𝟏+𝒙𝟒𝟐=𝟐𝒙𝟏.Решение. Преобразуем сумму всех уравнений к виду (𝒙𝟏−𝟏)𝟐+(𝒙𝟐−𝟏)𝟐+(𝒙𝟑−𝟏)𝟐+(𝒙𝟒−𝟏)𝟐=𝟎⇒                               𝒙𝟏−𝟏=𝟎,   𝒙𝟐−𝟏=𝟎,  𝒙𝟑−𝟏=𝟎,    𝒙𝟒−𝟏=𝟎. Ответ: (1,1,1,1). Задания 11 класса4. Докажите, что многочлен 𝒇𝒙=𝒙𝒙−𝟏𝒙−𝟐(𝒙−𝟑)𝟐𝟒 принимает целые значения при всех целых значениях переменной.Решение. Произведение четырёх последовательных целых чисел делится на 2 (из двух последовательных целых чисел одно четно), на 3 (из трех последовательных целых чисел одно делится на три), на 4, т. е. на 24.  Задания 11 класса5. Сколько трёхзначных чисел делятся хотя бы на одно из чисел 7, 11, 13?Решение. 10007−1007+100011−10011+100013−10013−−10007∙11−1007∙11+10007∙13−1007∙13+100011∙13−10011∙13+10007∙11∙13−1007∙11∙13=252.  Ответ: 252.   Задания 11 класса5. Сколько трёхзначных чисел делятся хотя бы на одно из чисел 7, 11, 13?Решение. 𝟗𝟎𝟎𝟕+𝟗𝟎𝟎𝟏𝟏+𝟗𝟎𝟎𝟏𝟑−𝟗𝟎𝟎𝟕𝟕−𝟗𝟎𝟎𝟗𝟏−𝟗𝟎𝟎𝟏𝟒𝟑+𝟗𝟎𝟎𝟕∙𝟏𝟏∙𝟏𝟑=𝟐𝟓𝟐.  Ответ: 252.