Применение координатно-векторного метода к решению стереометрических задач (творческая работа обучающегося)

Применение координатно-векторного метода в решении стереометрических задачТворческая работа ученика 11 «Г» класса Аткина КириллаРуководитель – учитель математики Гришина Ирина Владимировна  Цели и задачи работы: Изучить формулы и приемы координатно-векторного метода; Провести классификацию стереометрических задач, к которым целесообразно применение координатно-векторного метода;Освоить применение координатно-векторного метода решения стереометрических задач. Классификация задач Координатно-векторный метод удобен при решении задач на нахождение- углов между прямыми- углов между прямой и плоскостью- углов между плоскостями- расстояния от точки до плоскости- расстояния от точки до прямой- расстояния между скрещивающимися прямыми ababpqqpφφϴϴУгол между двумя прямыми.0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰φ = ϴ90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰φ =180⁰ - ϴcosφ=| cos ϴ |1.)2.)Косинус угла между двумя прямыми равняется модулю косинуса угла между направляющими векторами данных прямых. Угол между прямой и плоскостью.αφϴαaa1pnαφϴαaa1pn0 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰φ + ϴ = 90⁰90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰ϴ = 90⁰ + φ1.)2.)sinφ=| cos ϴ |Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к данной плоскости αααβαn1n2φϴУгол между двумя плоскостями.Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормалей к данным плоскостям.cosφ=| cosϴ |ααβn1φn20 ⁰ ≤ ϴ ≤ 90⁰φ = ϴ90 ⁰ < ϴ ≤ 180⁰φ =180⁰ - ϴϴ1.)2.) Расстояние от точки до плоскости.αBM0M1b Дано:α - плоскость, заданная уравнениемax+by+cz+d=0 M0(x0;y0;z0)Найти:расстояние от M0 до плоскости α Решение.Обозначим основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость α точкой М1 (x1;y1;z1). Поскольку точка М1 лежит в плоскости α, то ее координаты удовлетворяют уравнению данной плоскости: ax1+by1+cz1+d=0 (1)Вектор М0М1 (если не является нулевым), как и вектор n{a,b,c}, перпендикулярен к плоскости α, поэтому М0М1║n. Следовательно, существует такое число k, что M0M1= kn. Запишем это равенство в координатах: x1-x0=ka, y1-y0=kb, z1-z0=kc (2)Заметим, что искомое расстояние равно длине вектора М0М1, т.е. равно l = l = l = |k| (3)Выразим теперь координаты точки М1 из уравнений(2) : x1=x0+ka y1=y0+kb z1=z0+kc и подставим в уравнение (1):a(ka+x0)+b(kb+y0)+c(kc+z0)+d=0 ka²+x0a+kb²+y0b+kc²+z0c+d=0 k= - (4)При подстановке уравнения(4) в уравнение(3) получаем: ρ(M0 ;α) = Полученная формула является формулой расстояния от точки М0(x0;y0;z0) до плоскости α с вектором нормали к ней n{a,b,c}α  Дано:вектор р {a,b,c} - направляющий вектор прямой lточка A(x1,y1,z1) принадлежит прямой lточка М(x2,y2,z2) – произвольная точка пространства Найти: расстояние от точки М до прямой lРешение.Чтобы найти расстояние от точки М до прямой l, то есть длину перпендикуляра МН (Н∊l), представим вектор МН в виде:МН= МА+АН.Пусть вектор МA=m {x1-x2,, y1-y2,z1-z2}, вектор АН=хp, где х – некоторое действительное число, так как он коллинеарен вектору р. Значит, МН=m + хp.Неизвестный коэффициент х найдем из условия перпендикулярности векторов МН и р. Скалярное произведение этих векторов равно нулю:(m+ хp)p=0mp+xp2=0 x= Искомое расстояние МН выражается следующим образом:|МН|= Расстояние от точки до прямой.AНМpm l ααABMNabРасстояние между скрещивающимися прямыми.Дано:Скрещивающиеся прямые a и bпрямая a задана направляющим вектором р и точкой А(x1,y1,z1)прямая b задана направляющим вектором q и точкой B(x2,y2,z2)Найти: расстояние между прямыми a и bРешение.Известно, что существует общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых, и притомтолько один. Пусть это будет отрезок MN, концы которого M и N лежат на прямых a и b соответственно. Выразим вектор MN:MN= MA+AB+BN.Так как векторы МА и ВN коллинеарны векторам p и q соответственно, то их можно представить в виде:МА=xp, BN=yq, где x и y – некоторые действительные числаAB{x2-x1, y2-y1, z2-z1} = m. Тогда MN= m + хp + yq.Неизвестные коэффициенты x и y найдем из условий перпендикулярности вектора MN векторам p и q:MN∙p=0, MN∙q=0В результате получается система линейных уравнений с двумя неизвестными x и y, решив которую, найдем x и y. ⟺ Искомое расстояние МN выражается следующим образом:|МN|=рqm РQПример задачи о нахождении расстояния от точки до прямой. Дано:ABCDA1B1C1D1 - единичный куб, где Р и Q – сере-дины соответственно ребер A1B1 и ВС. Найти: расстояние от точки D1 до прямой РQ,  Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке B, единичный отрезок равен ребру куба.Отметим на PQ точку H такую, что отрезок D1H –перпендикуляр к PQНайдем координаты точек: P(0.5;0;1) Q(0;0.5;0) D1(1;1;1) B1(0;0;1)Тогда D1P{-0,5;-1;0} PQ{-0,5;0,5;-1} D1H = D1P + PH.Но PH коллинеарен PQ, поэтому PH=xPQ => PH{-0.5x;0.5x;-x}D1H{-0.5-0.5 x;-1+0.5 x;- x}D1H⊥PQ , поэтому D1H·PQ=00.25+0.25 x-0.5+0.25 x+ x=03/2 x -0.25=0х=1/6.Вычисляем координаты вектора D1H, а затем его длину.D1H{-7/12;-11/12;-1/6}D1H = = Ответ: расстояние от точки D1 до прямой РQ равно .A1B1C1D1ABCDxzyH Дано: DABC – правильный тетраэдр с ребром 1М – середина ВСN – середина АВ Найти: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DMРешение. Пусть PQ – общий перпендикуляр прямых DM и CNPQ=PD+DA+AN+NQ (*)Введем систему прямоугольную координат так, как показано на рисунке и определим координаты точек.A (0;0;0)C (0;1;0) B ( O ( D (N ( M (DO2=AD2-AO2 = 1-( 2 = DABCPMNQ xzyABCxyOOПример задачи о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми. Поскольку NQ‖NC справедливо равенство NQ=αNC, где α - некоторое действительное число. NC { ; ;0}, следовательно NQ{ α; α;0}DABCPMNQ xyO Ответ: расстояние между скрещивающимися прямыми CN и DM равно ЗаключениеВ работе проведена- систематизация стереометрических задач, к решению которых возможно применение координатно-векторного метода;- для каждой из рассмотренных задач приведено общее решение, выведена формула или показан общий подход к поиску решения; -применение формул или общих подходов иллюстрируется с помощью примеров задач.   Координатно-векторный метод позволяет избежать сложных логических рассуждении и геометрических построений, что упрощает решение определенного класса задач на нахождение углов и расстояний в пространстве.