Презентация по математике на тему Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Грифленкова И.А.учитель математикивысшей категории Введение в комбинаторику,статистику и теорию вероятностей Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Решением комбинаторных задач является подсчет числа различных комбинаций элементов некоторого множества. Комбинаторика является основой теории вероятностей.Статистические данные представляют собой данные какого-либо конкретного измерения, проведенного в реальности.А при вычислении вероятностей случайных событий мы имеем дело с той или иной моделью реальности Комбинаторика Комбинаторика – это искусство подсчета количества тех или иных различных комбинаций, составленных из элементов некоторого конечного множества. Методы решения комбинаторных задач - Метод перебора вариантов: если нужных комбинаций не слишком много, то все их можно просто перечислить, или, как говорят, перебрать все возможности. - Изображение дерева возможных вариантов: позволяет наглядно представить все варианты. - Правило умножения: применяется, когда количество возможных вариантов достаточно велико. Правило умножения Чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.Правило умножения верно для любого числа независимых испытаний. Задача 1. Из цифр 3;4;5 составлено трехзначное число, в котором ни одна цифра не повторяется более двух раз. Сколько таких чисел, начинающихся с цифры 3, можно составить? Решение.Сначала назовем числа без повторения цифр. Это 345 и 354. Потом назовем числа, в которых повторяется цифра 3. это 334, 335, 343, 353. Число, в котором повторяется цифра 4, только одно – 344. Число, в котором повторяется цифра 5, тоже только одно – 355. Итак, получилось восемь чисел: 345, 354,334, 335, 343, 353, 344, 355. Задача 2. В кошельке лежит много монет по 1 р., 2р., и 5р. Случайным образом поочередно достают три монеты. Нарисуйте дерево возможных вариантов и перечислите варианты, при которых сумма будет больше 8 р. Ответ: сумма взятых монет будет больше 8 руб. в десяти случаях: 1,5,5; 2,2,5; 2,5,2; 2,5,5; 5,1,5; 5,2,2; 5,2,5; 5,5,1; 5,5,2; 5,5,5. Задача 3. В 9 классе в среду шесть уроков: алгебра, биология, история, литература, физкультура, химия. Сколько вариантов расписания можно составить на среду? Решение. Для урока алгебры есть шесть вариантов расположения в расписании. Если для алгебры выбор сделан, то для биологии будет уже пять вариантов. Если алгебра и биология заняли в расписании свое место, то для истории остается четыре варианта и т. д. По правилу умножения нужно перемножить числа от 6 до 1. Итого, 6! = 720 вариантов. Статистика– это научное направление, объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления. Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений.Задача математической статистики заключается в обработке результатов наблюдений. Основные этапы статистической обработки данных Упорядочение и группировка данных измерений.Составление таблиц распределения данных.Построение графиков распределения данных.Получение паспорта данных измерений. Паспорт данных измерений Паспорт данных измерений состоит из основных числовых характеристик полученной информации. Перечислим некоторые из них:-варианта измерения, -кратность варианты, -объем измерения, -размах измерения, -мода измерения, -медиана измерения, -среднее (или среднее арифметическое). Числовые характеристики данных измерений Варианта измерения – один из результатов измерения.Кратность варианты – количество данной варианты.Объем измерения – сумма кратностей всех вариант.Размах измерения – разность между максимальной и минимальной вариантами.Мода измерения – та варианта, которая в измерении встречается чаще других.Медиана измерения – средняя варианта в сгруппированном ряде данных.Среднее (или среднее арифметическое) – частное при делении суммы всех измерений на их количество. Задача 4. На письменном экзамене по математике можно получить от 0 до 10 баллов. Двадцать учащихся получили такие оценки: 6; 7; 7; 8; 9; 3; 10; 6; 5; 6; 7; 3; 7; 9; 9; 2; 3; 2; 6; 6. Составить сгруппированный ряд данных измерений. Определить числовые характеристики полученной информации:Варианты измерений.Кратность каждой варианты.Объем измерения.Размах измерения.Моду измерения.Медиану измерения.Среднее значение данного измерения. Решение.- Сгруппированный ряд данных: 2;2; 3;3;3; 5; 6;6;6;6;6; 7;7;7;7; 8; 9;9;9; 10. - Варианты - 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; их кратности – 2; 3; 1; 5; 4; 1; 3; 1. - Всего выставлено 20 оценок, значит, 20 – это объем данного измерения. - Размах измерения: 10 – 2 = 8. - Мода равна 6 – эта оценка встретилась чаще других. - Медиана равна 6. - Среднее значение: (4+9+5+30+28+8+27+10):20 = 6,05. Теория вероятностей Теория вероятностей занимаетсяпостроением и исследованием моделей различных ситуаций, связанных с понятием случайности. Для подсчета вероятности случайных событий применяется классическая вероятностная схема: вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания. Вероятностная формула Р(А) – вероятность события АN – число всех возможных исходов данного испытанияN(А) – число тех исходов испытания, в которых наступает событие АР(А) = N(A):N Задача 5. В кошельке лежит много монет по 1р.; 2р.; 5р. Случайным образом достают три монеты. Какова вероятность того, что сумма будет больше 8 руб.? Решение. Результат дерева возможных вариантов в задаче 2 показывает, что число всевозможных исходов данного испытания N = 27.Число благоприятствующих исходов данного испытания следует из ответа на вопрос задачи 2: N(А) = 10.Значит, искомая вероятность Р(А) = 10 : 27. Задача 6. В правильном десятиугольнике случайным образом провели одну из диагоналей. Какова вероятность того, что проведенная диагональ отсекает от десятиугольника треугольник? Решение. Количество N всех диагоналей в данном десятиугольнике можно вычислить по правилу умножения: N = 35.Диагоналей, отсекающих треугольники, десять – столько, сколько вершин у десятиугольника: N(A) = 10.Значит, искомая вероятность Р(А) = N(A) : N = 10 : 35 = 2 : 7. Доля элементов подмножества среди всех элементов множества Вероятность событий Подмножество, совпадающее со всем множеством Достоверное событие Пустое подмножество Невозможное событие Подмножество Случайное событие Элемент множества Отдельный исход испытания Множество из N элементов Испытание с N исходами Связь между теорией вероятностей и теорией множеств