Презентация: Особенности построения графиков функций, заданных неявно и параметрически

* Тема: Особенности построения графиков функций заданных неявно и параметрически Подготовила: Полякова Ольга Леонидовна * Алгоритм исследования графиков функций заданных явноОпределить область определения функции;найти множество значений функции;определить четность (нечетность) функции;определить периодичность функции;найти нули функции;найти экстремумы функции, определить промежутки монотонности функции;определить выпуклость и точки перегиба.найти асимптоты. * Построить график функции * * 4. Особые точки: Точку называют особой (нерегулярной), если . - первая отличная от нуля производная - первая из производных, не коллинеарных вектору * I. p- нечетное, q- четное – образ кривой в окрестности точки M имеет такой же вид, как и в окрестности регулярной точки;II. p- нечетное, q- нечетное – точка M является точкой перегиба; * III. p- четное,q - нечетное – точка M называется точкой возврата первого родаIV. p- четное,q - четное – точка M называется точкой возврата второго рода * Таким образом, начало координат является точкой возврата I рода (p=2, q=3). * 5) Точки самопересечения: (1) ,t0=0=t, значит кривая не имеет точек самопересечения. * 6) Угловой коэффициент касательной: (2)При t=0 и при t = (т. е. точках (0;0); (-4,1;-2,6) и (1,1; 2,6) ) касательная параллельна оси абсцисс;при t=2 (т. е в точке(-4; -2,6) ) касательная параллельна оси ординат. * Экстремумы функции: (0;0)-т. min; (-4,1;-2,6) и (1,1;2,6) – т. maxПри и функция убывает; при и функция возрастает * 7) Интервалы выпуклости и точки перегиба: (3)Точек перегиба кривая не имеет;при и при кривая выпукла вверх; при и при кривая выпукла вниз. * Асимптоты. (4) ; (5)значит у=х+1 – наклонная асимптота,при вертикальная асимптота; при (6), значит наклонная асимптота;горизонтальных асимптот функция не имеет. * * Исследовать и построить график функции 1) область определения: первой ветви кривой , , второй ветви -2) Кривая симметрична относительно координатных осей * 3) Точки пересечения кривой с осями координат: а) с осью ОХ: (7)б) с осью ОУ: (8) * 4) Асимптоты: горизонтальных и вертикальных асимптот кривая не имеет. наклонные асимптоты: (9) (10) у=х и у=-х – наклонные асимптоты. * 5) Особые точки: Точка кривой называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют уравнениям: (11)Если производные второго порядка не равны одновременно нулю в точке , тогда эта точка является двойной точкой кривой, причем форма кривой у ее двойной точки характеризуется значением: (12) * 1) Δ>0 - узловая точка 2) Δ<0 – изолированная точка Рис.1 Рис.2 * точка возврата I рода точка возврата II рода точка самокасания 3) Δ=0 * Таким образом, (0;0) – особая ( ); двойная ( ), узловая ( ) точка. * 6) Координаты точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс: (13) (0;0) , -в этих точках касательная параллельна оси абсцисс. * Т.к принимает положительные значения в точке и , то в этой точке у-max;т. к. (14) принимает отрицательные значения в точках , то в этих точках у-min. (14) * Координаты точек, в которых касательные параллельны оси ординат: (15)(0:0), (1;0), (-1;0) - в этих точках касательные параллельны оси ординат * Т.к (16)принимает положительные значения в точке с координатами (1;0), то в этой точке х-max; т. к. (16) принимает отрицательные значения в точке с координатами (-1;0), то в этой точке х-min. * Точки перегиба: (17)х=0 – точка перегиба * * Специфическая особенность - нахождение особых точек и точек самопересечения.При исследовании параметрических функций возникают сложности при определении точек перегиба и промежутков вогнутости, в связи с нахождением второй производной функции, представляющей громоздкое выражение, в результате чего решить уравнение ухх=0 точными методами не удается. Аналогичные сложности возникают и при исследовании неявно заданных функций