Презентация к занятию элективного курса Графики кусочно – заданных функций 9 класс
Графики кусочно – заданных функций Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область Цель: освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль; научиться применять его в простых ситуациях. Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века. В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании. 1. Введение 2. Определение линейного сплайна 3. Определение модуля 4. Построение графиков 5. Практическая работа Графики функций широко используются в различных областях инженерных знаний, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение” имеют огромную роль в практической деятельности инженерных работников, метеорологов и людей других “математических” специальностей Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе. Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное (непрерывное) и скачкообразное. При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч). Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы. Один из способов введения таких разрывов следующий: Пусть функция y = f(x) при x
a - формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. Графики разрывных функций Графики непрерывных функций y=cos x У = |X-1| + 1 У=2-х У= х Х=1 –точка смены формул 1 1 0 Построить график функции: Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а). Это определение раскрывает геометрический смысл модуля. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а, если а<0. 0 а А х Построить график функции у = 3|х|-2.По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х>0 или х=0 у = -3х -2 при х<0 У=3х-2 У=-3х-2 1 1 0 у х -2 х -1 -2 у 1 4 х 0 1 у -2 1 . Пусть заданы х1< х2 < … < хn – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном. Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x < xn) и правым (отвечающим значениям x >xn) 1 1 -1 х у У = У=|x| - |x – 1| Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами 0 График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х<0) и правым (x>1). Точки смены формул: х=0 и х=1. У(0)=-1, у(1)=1. График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной. Кроме построения n вершин следует построить также две точки: одну левее вершины A1 (x1; y (x1)), другую – правее вершины An (xn; y (xn)).Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов. Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном 1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2; Х=0 2.Составим таблицу: 3 2 0 -1 х 1 0 2 1 у У(0)= 0+|0-2|-|0|=0+2-0=2; у(2)=2+|2-2|-|2|=2+0-2=0; у(-1)= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1=1; у(3)=3+|3-2| - |3|=3+1-3=1. 2 2 0 у х Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|. 1.Точки смены формул: х+1=0, х=-1; х=0; х-2=0, х=2. 2. Составим таблицу: 6 5 -1 -2 -1 у 3 2 0 -1 -2 x y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6. x у 1 1 2 0 -1 Решите уравнение: |x – 1| = |x + 3| Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3| Построим график функции /методом линейного сплайна/ Точки смены формул: х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3. 2. Составим таблицу: - 4 - 4 4 4 у 2 1 -3 - 4 х y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4; y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4; y(1)=|1-1| - |1+3| = - 4; y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4. x y 0 1 1 y(-1) = 0. Ответ: -1. 1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна: у = |x – 3| + |x|; 1). Точки смены формул: 2). Составим таблицу: х у
у( ) =у( ) = у( ) = У( )= х у
1 2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика» х у А) у = |2x – 4| + |x +1|1) Точки смены формул: 2) y( ) = y( ) = y( ) = у( ) = Б) Постройте графики функций, установите закономерность:a) у = |х – 4| б) y = |x| +1 y = |x + 3| y = |x| - 3 y = |x – 3| y = |x| - 5 y = |x + 4| y = |x| + 4 1. Меню «Графики».2. Вкладка «Построить график»..3. В окне «Калькулятор» задать формулу. Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов. х у 3) У = х 2 4 у Постройте график функции: 1) У = 2х + 4 1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006. 2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 20093. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2009 4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline