Презентация Множества и операции над ними.

Знаменитый итальянский физик, механик, астроном и математик Галилео Галилей (1564-1642) писал, что «Великая книга Природы написана языком математики» При изучении параграфа «Множества и операции над ними» вы познакомитесь с начальными понятиями общепринятого в математике языка теории множеств:элемент множества;подмножество данного множества;объединение множеств;пересечение множеств. Понятие теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является частью любого множества. №3. Примеры пустых множеств. Решение:1) Множество квадратных уравнений, которые имеют более двух разных корней; 2) множество простых делителей числа 1;3) множество точек пересечения двух параллельных прямых;4) множество прямых углов равностороннего треугольника;5) множество людей на Солнце;6) множество двузначных положительных чисел, расположенных на числовом луче левее 9. Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в каком-нибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок { , }. {Ельцин, Путин, Медведев} Множество состоит из трех людей: Ельцин, Путин, Медведев Президенты Российской Федерации {3 ; -13} Множество состоит из чисел 3 и -13 Корни уравнения Х2 + 10х = 39 {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} Множество букв состоит из букв А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я Гласные буквы русского алфавита {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Множество состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Цифры десятичной системы счисления Задание множества перечислением его элементов Поэлементное описание множества Словесное описание множества Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Множество А состоит из всех корней уравнения х3 + х2 – 6х = 0 Решить это уравнение.Задать множество А перечислением его элементов.Записать все возможные способы перечисления элементов множества А.Сколько всего имеется способов перечисления элементов множества А? Решение: х3 + х2 – 6х = 0 х(х2 + х – 6) = 0 х(х + 3)(х – 2) = 0 х=0; х=-3; х=2 2)А={-3; 0; 2} 3) {-3; 0; 2} , {-3; 2; 0}, {0; 2; -3}, {0; -3; 2}, {2; -3; 0}, {2; 0; -3} 4) 6 Пример 1 Способы задания множеств Множество всех чисел, которые больше 2 и меньше 7 (2; 7) 6. Множество всех чисел, которые больше 2 и меньше 7 {х | 2 < x < 7} 5. Множество рациональных чисел Q 4. Множество натуральных чисел N 3. Множество всех квадратов натуральных чисел {1, 4, 9, 16, 25, 49, …} 2. Множество всех двузначных чисел, кратных пяти {10, 15, 20, …, 90, 95} 1. Словесное описание множества Задание множества Множество всех квадратов натуральных чисел {1, 4, 9, 16, 25, 49, …} 2. Множество всех двузначных чисел, кратных пяти {10, 15, 20, …, 90, 95} 1. В данных случаях мы догадываемся о том, как устроено все множество целиком. Этот способ в том или ином виде использует словесный оборот « … и так далее» Множество рациональных чисел Q 4. Множество натуральных чисел N 3. В данных случаях приведены примеры числовых множеств, которые настолько часто встречаются в разных разделах математики, что для них ввели специальные обозначения. Множество всех чисел, которые больше 2 и меньше 7 (2; 7) 6. Множество всех чисел, которые больше 2 и меньше 7 {х | 2 < x < 7} 5. В случае 5 множество задано с помощью его характеристического свойства (самый распространенный способ) Чтение записи Множество всех х таких, что 2 < x < 7 {х | 2 < x < 7} Множество всех х таких, что … {х | …} Множество всех х… {х …} Множество … { … } Как они читаются Символы Пример 2 По указанному заданию множества дать его словесное описание:а) {0, 2, 4, 6, 8} б) {2, 4, 6, … 18, 20}в) {12, 22, 32, … 92}г) {1, 8, 27, 64, 125, …} Множество всех четных цифр (все цифры, кроме 1,3,5,7,9) Множество всех четных натуральных чисел, которые меньше 21( все числа, полученные из чисел 1, 2, … 9, 10 умножением на 2) Множество всех двузначных чисел, оканчивающихся на 2 Множество всех кубов натуральных чисел Пример 3 Решив соответствующее неравенство, составить более привычную запись числового множества:а) {х | х2 + 1 >0}; б) {х | х2 + 1 < 0,5}; в) {х | 1/х >0}; г) {х | 35х2 < 24x +35} Ответы:а) (-∞; +∞) или Rб) Ш (пустое множество)в) (0; 1)г) [-5/7; 7/5] принадлежит не принадлежит Примеры:3 {1, 3, 5, 7, 9} 13 {1, 3, 5, 7, 9} Элементы, образующие множество А, можно объединять не сразу все вместе, а группируя их в разных комбинациях. Так можно получать различные подмножества данного множества. Пример 4. На поле в составе футбольной команды должны выйти два нападающих, а у тренера команды есть четыре кандидата х, у, z, t на эти позиции. а) Из скольких вариантов придется выбирать тренеру? б) Как изменится ответ в а), если игрок х не может играть с игроком у? в) Как изменится ответ в а), если игрок z может играть только вместе с игроком t? г) Как изменится ответ в а), если на поле должны выйти три нападающих? Решение: А = {х, у, z, t} – это множество, из которого тренеру следует выбрать двух игроков, т.е. выбрать два элемента. Значит, задача свелась к подсчету числа всех двухэлементных подмножеств данного множества А = {х, у, z, t} а) Для игрока х: {х, у}, {х, z}, {х, t} Для игрока у: {у, z}, {у, t}, вариант {х, у} – уже учтен. Для игрока z: {z, t}, варианты {х, z}, {у, z} –уже учтены. Для игрока t все варианты выхода на игру уже указаны Ответ: 6 вариантов: {х, у}, {х, z}, {х, t}, {у, z}, {у, t}, {z, t} б)из перечисленных вариантов следует убрать {х, у}.Ответ: 5 вариантов в) из а) следует убрать: {х, z}, {у, z}. Ответ: 4 варианта г) считаем все трехэлементные подмножества:{х, у, z}, {х, у, t}, {х, z, t}, {у, z, t} Ответ: 4 варианта 1 4 6 4 1 Количество вариантов {х, у, z, t} {х, у, z}, {х, у, t}, {х, z, t}, {у, z, t} {х, у}, {х, z}, {х, t}, {у, z}, {у, t}, {z, t} {х}, {у}, {z}, {t} Варианты составов нападающих 4 3 2 1 0 Число нападающих Сведения о четырехэлементном множестве Всего : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 разных подмножеств Определение подмножества: Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А.Обозначение: В А. Знак - знак включения А В В А Фигура В целиком расположена в фигуре А А В С Д Какие из следующих включений верны или неверны?А В, С А, Д В, А Д, С В, Д А. ? Изображение множеств в виде плоских фигур очень удобно для наглядного объяснения различных операций над множествами. Обычно множества при этом изображают в виде некоторых кругов. Такие круги называют кругами Эйлера в честь великого немецкого математика Леонарда Эйлера (1707 -1783), который долгое время работал в России. А – подмножество В Пересечение множеств Объединение множеств Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех общих элементов множеств А и В, т.е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В Обозначение: ={х | х А и х В} Круги Эйлера Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств – или множеству А, или множеству В. Обозначение: = {х | х А или х В} Круги Эйлера {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}. {1,2,3} {2,3,4} = {2,3} Пример. Найти пересечение множеств А и В: а) А = {11, 22, …, 88, 99}, В = {3, 6, 9, …} б) А – множество различных букв, используемых в слове «перераспределение», В – множество различных букв, используемых в слове « реформирование» в) А = ( 1, √10), В = N; г) А – множество точек окружности радиуса 1 с центром в начале координат, В – множество точек прямой у = 3х – 5. Ответ: а) А∩В = {33, 66, 99} б) А∩В = {е, р, а, н, и} в) А∩В = {2, 3} г) А∩В = Ш Можно рассматривать пересечения не только двух множеств, но и трех, четырех и т.д. множеств. Пересечением множеств А, В и С называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В, и множеству С.Пересечение множеств А, В и С обозначают так: А∩В∩С.Пример выполнения нескольких условий : решение системы уравнений. Пример. Найти объединение множеств А и В. а) А – множество делителей числа 105, В – множество делителей числа 55; б) А – множество цифр числа 35, в – множество цифр числа 210; в) А = (1; √10), В = [ 2, 4]; г) А – множество точек координатной плоскости, у которых абсцисса больше 3, В – множество точек координатной плоскости, у которых ордината не больше 2. Ответ: а) АUВ = {1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 35, 55, 105} б) АUВ = {0, 1, 2, 3, 4} в) АUВ = (1,; 4] Можно рассматривать объединения не только двух, но и трех, четырех и т.д. множеств.Объединением множеств А, В, С называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству А, или множеству В, или множеству С.Объединение множеств А, В, С обозначают так: АUВUСПример: решение неравенств Домашнее задание:1. §17 № 533, 537, 540, 542, 544