Презентация к школьному научному проекту по топологии Теория узлов

Топология. Теория узлов в биологии.Учебно-воспитательный комплекс «арман»Подготовила: Бидашева Алина (10 класс)руководитель: Кагирова Данекер темиржановна



Цель исследования:Цель научной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих кривых в трёхмерном пространстве, последующим применением построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК, нахождению условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК


Топология Разница междутопологией и геометрией геометриятопология







Топология-раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию[1].








Понятие гомеоморфизма иДва пространства гомеоморфны, если можно деформировать один объект в другой без резки или склеивания. Гомеоморфизм можно считать самым основным понятием топологической эквивалентности.Другим понятием является гомотопическая эквивалентность. два объекта гомотопически эквивалентны (гомотопны), если они оба являются результатом "сжатия" некоторого крупного объекта.гомотопии Г, М, Л, П, СЕ, У, Т, Ч, Ш, Ц, ЭПрактическая работа: применение топологических знанийКлассификация букв русского алфавита.ЫОЁЙ Практическая работа: применение топологических знанийКлассификация букв русского алфавита.Критериями гомеоморфизма являются:Отсутствие отверстий,Отсутствие отверстий, наличие одного хвостиков,Отсутствие отверстий, наличие двух хвостиков,Отсутствие отверстий, наличие трёх хвостиков,Отсутствие отверстий, наличие четырех хвостиков(и более),наличие одного отверстия, отсутствие хвостиков,наличие одного отверстия, одного хвостика,наличие одного отверстия, двух хвостиков,наличие двух отверстий, двух хвостиков. Практическая работа: применение топологических знанийКлассификация букв русского алфавита.Критериев гомотопических классов меньше, потому что хвостики могут быть искаженными до точки: Критериями гомотопии являются:Наличие одного отверстия,Наличие двух отверстий, Отсутствие отверстий. Практическая работа: применение топологических знанийКлассификация букв казахского алфавита.Эквивалентные классы букв казахского алфавитаГомотопияГомеоморфизм(A, Ә, Б, Д, О, Р, Ъ, Ь, Ю, Я)(Ы)(В, Ө, Ф)(Г, Ғ, Е, Ж, З, И, К, Қ, Л, М, Н, Ң, П, С, Т, У, Ұ, Ү, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, І, Э)(Г, Ғ, Т, У, Ұ, Ү, С, І )(И, Л, П, Ц, Ч)(Е, З, К, Қ, Э,) (Ж, Н, Ң, М, Х, Ш, Щ) (B, Ө)(O) Практическая работа: применение топологических знанийКлассификация букв английского алфавита.Эквивалентные классы букв английского алфавитаГомотопияГомеоморфизм(A, R, D, O, Q) (B)(C , E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y, Z)(A, R) (B) (C, G, I, J, L, M, S, U, V,W,Z) (D, O) (E, F, T, Y)(H, K)(P, Q) (X) Проблема четырех красокПрактическая работа: применение топологических знанийАдминистративная карта Казахстана и политическая карта Казахстана Задачи по топологииЗадача 1.1:Докажите, что из эластичного тела на рис. 11 (а) можно при помощи деформаций получить тело на рис 11 (б). Иными словами, если бы человек был достаточно эластичен, то он смог бы разъединить сцепленные пальцы обеих рук, не расцепляя их. доказательство:
style.rotation
style.rotation
style.rotation Задача 1.2:Аналогично: эластичное тело с зацепленными пальцами и часами на рис. 2(а), непрерывными деформациями превратить в человека с расцепленными пальцами на рис. 2(б).Ответ: нет, не смог бы. доказательство:
Разделы топологии Общая топология Алгебраическая топология Вычислительная топологияДифференциальная топология теория узлов


Теория узлов Узел математическоепонятиебытовое



Атомная теория строения материиУильям Томсон1860 гДжеймс Кларк Максвеллклассифицировать узлы



Питер Тейт и диаграммы узловПроекция узла на плоскость


Киркман, Тейт и первые таблицы узлов 212=4096 альтернированные узлы,



первая цифра указывает число двойных точек, а вторая (расположенная в индексе) — порядковый номер узла.Помимо стандартного обозначения несколько простейших узлов имеют специальные названия. Например:узел 3_1 — трилистник;узел 4_1 — «восьмёрка», или узел Листинга;узел 5_1 — узел «Печать Соломона».
Эквивалентность узловДва представления одного узла

Движение Рейдемейстера
1 движение2 движение3 движение Топологическая модель теории узлов в биологии Практическая работа: исследование теории узловОперация связной суммыНулевой элемент Практическая работа: исследование теории узловДоказательство коммутативности операция связной суммыДоказать:Доказательство: Практическая работа: исследование теории узловПростые узлы Практическая работа: исследование теории узловПостроение инварианта узла-Полинома Александера1)Когда одна дуга идёт поверху и в неё справа-налево идут дуги J и K2) Когда одна дуга идёт поверху и в неё слева-направо идут дуги J и KВычисление инварианта для трилистника 1-t-1t1-t-1t1-tt1-t-1-1t1-tt1-t-11-t-1t -1t1-tt1-t-11-t-1t-1t t1-t=-t2+t-1 –Полином Александера для трилистника Практическая работа: исследование теории узловПостроение инварианта узла-Полинома Александера Анализ узла на флаге Казахского ханстваявляется логотипом флага Казахского ханства, принятого на рассмотрение к 550-летию Казахского ханства. Математический узел в центре логотипа.Этап 1. Доказательство достоверности узла на флаге.Утверждению достоверности этого узла и его отношения к казахскому ханству сопособствуют находки фрагментов керамических плитв захоронении, найденном в Акмолинской области, которое принадлежит хану Жаныбеку-основателю Казахского ханства. Этап 2.Анализ диаграммы с точки зрения топологической логики. После соединения всех граней в одну общую диаграмму.Образуются симметричные петли вверху и внизу диаграммы. Эти петли можно преобразовать в соответствии с первым движением Рейдемейстера