Презентация по математике на тему Задачи на моделирование

Тема работы:Математические модели при решении задач оптимизации Выполнила: ученица 10 класса Куимова Ирина Андреевна Руководитель: Учитель математики 1 категории Титова Мария Панкратовна Цель работы:Построить математическую модель решения поставленной задачи для поиска наилучшего результата. Задачи:1. Изучить литературу по проблеме построения математических моделей решения задач на оптимизацию. 2. Разработать математическую модель решения нескольких задач на оптимизацию. Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение. Такие задачи называют - задачи на оптимизацию. В переводе с латинского языка “оптимум” – это наилучший. Два вида задач на оптимизацию: В задачах первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений: выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления. В задачах второго вида качественная сторона дела остается неизменной, но меняются количественные показатели. В данной работе рассмотрены задачи только второго типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций, зависящих от одной или нескольких переменных. Математические модели и их свойства Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результат рассчитывать, он приступает к решению задачи. Этот описанный процесс называют “уяснением задачи”, или, другими словами, это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности . ЗадачаИсходные данныеРезультатСпособы решения, связи, алгоритм решения Алгоритм построения моделей задачиВыделить исходные данные. Определить, что будет служить результатом .Какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи. Для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. Рассмотрим два вида задач, решаемые с помощью исследования линейной и квадратичной функций, решения линейных уравнений с двумя переменными.Основные понятия необходимые для решения задач: .Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y –переменные, a, b, c – некоторые числа. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Такие уравнения имеют много решений. Иногда при решении задач требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению с двумя переменными. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c, где x и y –переменные, a, b, c – некоторые числа. Графиком этой функции является парабола. Вершина (x0, y0) находится по формуле: x0= -b/2a, y0=(x0) . Наибольшее значение функция принимает при условии, если а<0, наименьшее при а>0.  Практические задачи, приводящие к исследованию линейной функции. Задача 1 Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?? Решение.С – место построения завода. Расстояние от завода С до шахты А обозначим через х: A___________С__________________B   АС = х, ВС = 60 - х .Количество тонно-километров:от А до С _______ 200 х т/км, от В до С _______ 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров: у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000 на [0; 60]. Это уравнение может иметь бесконечно много решений. Найдем дешевый вариант перевозок. Исследуя функцию у = 100х + 6000 на [0; 60]. Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, у = 6000 т/км. Вывод: Завод надо строить возле шахты А. Исследуем эту задачу при других исходных данных: а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды; б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т; в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды; Найдем на отрезке [0; 60] минимум функции: а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000; б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400; в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000. Вывод: Если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В. Задача 2 На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)? Решение:Количество 7 – метровых труб обозначим через х , а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем линейное уравнение с двумя переменными7х + 5у = 167 Выразив, например, переменную у через переменную х , получим: 5у=167-7х Т.к. х, у Є N, то методом перебора найдем пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению 7х + 5у = 167. (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4). Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21 , у = 4.  Ответ: 21 труба 7-метровая, 4трубы 5-метровые – самый выгодный вариант. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач. Задача 3 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света? МСВDA Решение:Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь. Пусть AB = x, AD = y, тогда P=AB+BC+AD+ DMC , где DMC – длина полуокружности, равная 0,5П d.P=x+2y+0,5 Пx (1) S=ABCD+ Пx2 /8 S=xy + Пx2 /8 (2) Выразим из (1) у =(Р- х- 0,5 π х)/2 подставим в (2), упростим, получим S(x)=- ( П/8 +1/2) x2 +Р2 x Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при x0= -b/2a, т.е. x0= Р/ (П /2-2), y0= 3Р/ ( П +4). Ответ: Размеры окна Р/ (П/ 2-2), 3Р/ (П +4). Задача 4 На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν 0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь... Решение: Равноускоренное движение: s = s0 + ν0 t + at2/ 2, где s0 – начальный путь, ν 0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время . s =0, v =300 м/с, а=-5 м/с ,значит, S(t) = 300t – 5t 2 . Функция S(t) принимает наибольшее значение при х0=30 S(30)= 300.30-530 2 =4500(м) Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м. Ответ: 4500м. Заключение:В настоящее время успех развития многих областей науки и техники зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства. Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Вывод: Цель: Научиться строить математические модели для решения задач на оптимизацию. Мои действия: Подбор соответствующей литературы, изучение её. Изучение идей решения задач на оптимизацию. Повторение материала о линейных уравнениях, линейных и квадратичных функциях, исследование на наибольшее и наименьшее значение. Повторение формул по физике, проследить связь математики и физики. Убедиться в том, что естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений, а также, что любой процесс в жизни можно записать с помощью математических знаков и символов, а обработать их нам помогут компьютеры. Список использованной литературы1 Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.2 Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978 3 Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985. 4 Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М: Просвещение, 1980. 5 Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО “Столетие”, 1994 6 Хургин Я. И. Ну и что? (Разговоры математика с биологами и радистами, врачами и технологами… о математике и ее связях с другими науками). М.: Молодая гвардия, 1967. 7 Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1997