Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы» — урок 13-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.2.Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 11 УРОК ТРИННАДЦАТЫЙ Метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2………………………………..am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Числа а11 , а12 , ... , а mn - это коэффициенты системы Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы Переменные х1, х2 ,…, хm - неизвестные, значениякоторых надо найти ( 1 ) Система линейных уравнений Систему линейных уравнений очень удобно записывать в матричном виде АХ = В А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. 1 А = а11 а12 ... a1na21 a22 … a2n.....................am1 am2 … amn X = X1X2….Xn B = b1 b2…. bm ( 2 ) 1) Предположим, что rang(A) = rang(A|B) = n, т.е. система имеет решение, причем единственное. основная матрица системы А – невырожденная, т.е. главный определитель Δ ≠ 0 . Для невырожденной матрицы А есть обратная А -1 2) Умножив уравнение на А и помня, что А А = Е определитель, которой Δ = 1: -1 -1 А Х = В Α -1 A ⋅ A⋅ X = A ⋅ B -1 -1 Е = 1 Χ = Α Β -1 ( 3 ) 2 Вывод основной формулы А Х = В ( 2 ) Х = А В ( 3 ) -1 Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в матричном виде (2) с невырожденной квадратной матрицей А. Отсюда получаем решение системы (3), где А - обратная матрица -1 ( 4 ) А = -1 1 detА A11 A21 A31 ….A n1A12 A22 A32…. An2…………………..An1 An2 An3 …. Ann Способ решения Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Х1 + Х2 = 3Х1 – Х2 = 1 Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А = 1 1 1 -1 Х = Х1Х2 В = 3 1 1 1 1 -1 = 3 1 Х1Х2 - матричный вид системы А Х = В Рассмотрим пример 1 А = -1 1 Δ A11 A21 A12 A22 2) Получаем решение системы где А - обратная матрица -1 Х = А В -1 где Δ - главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения 3) Вычислим обратную матрицу Δ = 1 1 1 -1 = -1-1 = -2 ≠ 0 А – невырожденная матрица А = -1 1 -2 -1 -1 -1 1 = 1 2 1 1 1 -1 Х = А В -1 3) Найдём решение системы Х = А В -1 = 1 2 1 1 1 -1 3 1 = 1 2 4 2 = 2 1 Ответ: Х1 = 2 ; Х2 = 1 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А Х = В А = 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 Х = Х1Х2Х3 В = 4 1 5 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 Х = 4 1 5 2) Составим матричное уравнение Рассмотрим пример 2 А = -1 1 Δ A11 A21 А31A12 A22 А23А13 А23 А33 3) Решим матричное уравнение где А - обратная матрица -1 Х = А В где Δ - главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения -1 4) Найдём главный определитель основной матрицы А Δ = 1 2 -1 2 -1 1 1 1 2 = -2 -2+2-1-1-8 = -12 ≠ 0 А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует 5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А 6) Вычислим обратную матрицу А -1 А = -1 1 -12 -3 -5 1 -3 3 -3 3 1 -5 = 1 12 3 5 -1 3 -3 3 -3 -1 5 7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы Х = А В -1 = 1 12 3 5 -1 3 -3 3 -3 -1 5 4 1 5 = 1 12 12+5-5 12-3+15 -12-1+25 12 24 12 = = 1 12 = 1 2 1 Х1Х2Х3 = Ответ: Х1 = 1 ; Х2 = 2 ; Х3 = 1 Задание. Найти решение системы с помощью обратной матрицы. Решение. 1) Запишем систему в матричном виде А Х = В А = 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 Х = Х1Х2Х3 В = 6 7 2 Х = 2) Составим матричное уравнение 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 6 7 2 Рассмотрим пример 3 А = -1 1 Δ A11 A21 А31A12 A22 А23А13 А23 А33 3) Решим матричное уравнение где А - обратная матрица -1 Х = А В где Δ - главный определитель системы, Аij – алгебраические дополнения 4) Найдём главный определитель основной матрицы А Δ = = 1∙13 + 1∙(-5) + 1∙(-17) = -9 ≠ 0 А – невырожденная матрица, значит обратная матрица существует 1 -3 4 1 -1 7 1 -2 1 5) Найдём алгебраические дополнения для основной матрицы А 6) Вычислим обратную матрицу А -1 А = -1 1 - 9 13 -5 -17 6 -3 -3 -1 -1 2 = 1 9 -13 5 17 -6 3 3 1 1 -2 7) Найдём неизвестную матрицу Х, которая является решением данной системы Х = А В -1 = 1 9 = 1 9 -78+35+34 -36+21+6 6+7-4 -9 -9 9 = = 1 9 = -1 -1 1 Х1Х2Х3 = Ответ: Х1 = -1 ; Х2 = -1 ; Х3 = 1 -13 5 17 -6 3 3 1 1 -2 6 7 2 ∙ Найти и посчитать матрицу, обратную для основной матрицы системы (если она существует); умножить полученную матрицу на матрицу-столбец свободных членов полученная в результате умножения тоже матрица-столбец и есть решение системы. Итак, для этого метода нужно: Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.