Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Ранг матрицы» — урок 6-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.1.Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 6 УРОК ШЕСТОЙ Ранг матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru Ранг матрицы - это наивысший из порядков миноров этой матрицы, определитель которых отличен от нуля Обозначают: r, rang(A), r(A). 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 Пусть 7 -1 0 2 3 8 4 6 М3 = 1 = 1(12-12) + 8(21+2) = 184 = 0 так как ее минор старшего порядка М3 отличен от нуля, тогда rang(A)= 3 1 Рассмотрим пример Основное понятие 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 D = 3 х 3 Пусть тогда rang(A)= 1 потому что все миноры 3-го порядка равны нулю,все миноры 2-го порядка тоже равны нулю и только один минор −1 = −1 ≠ 0 , а он первого порядка. М3 = 0 М2 = 0 М1 = φ φ 1 −1 = −1 ≠ 0 Если матрица A нулевая, т. е. все ее элементы равны нулю, то и все миноры матрицы равны нулю. Ранг такой матрицы считается равным нулю. ПРИМЕЧАНИЕ Рассмотрим пример 1 Задание. Посчитать миноры матрицы С = 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 Самый старший минор для этой матрицы –это минор 3-го порядка. Таких миноров три. И каждый равен нулю. Среди миноров 2-го порядка есть один - отличный от нуля Решение. М2 = 1 0 0 3 ≠ = 3 – 0 ≠ 0 Ответ: rang(С) = 2. 4 х 3 вывод: чем больше в матриценулей, тем легче считать ее определитель Рассмотрим пример 2 1. Метод окаймляющих миноров 2. Метод элементарных преобразований Пусть в матрице А найден ненулевой минор k -го порядка . Рассмотрим все миноры  k+1 -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор Мk   ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется. φ Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы. Методы нахождения ранга матрицы Ранг равен k Можно ли составить окаймляющие миноры? Минор k-го порядка не равен нулю да нет Проверяем окаймляющие миноры.Это будут миноры (k+1) – го порядка.Среди них есть хоть один не равный нулю? Ранг равен k k: = k + 1 нет да Суть метода окаймляющих миноров выражается следующей схемой Найти ранг матрицы А методом окаймления миноров                                 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 А = Задание. Решение. 3 х 4 1. Рассмотрим миноры 1-го порядка матрицы А М1 = 1 = 1 1 ≠ 0 ( условие выполнено ) Метод окаймления миноров 2. Рассмотрим миноры 2-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 А = М2 = 1 1 2 2 4 = 1 4 - 2 2 = 4 – 4 = 0 ( не подходит ) М2 = 2 -1 3 = 1 3 – 2 (-1) = 3 + 2 = 5 ≠ 0 ( условие выполнено) 3 х 4 3. Рассмотрим миноры 3-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 3 х 4 А = М3 = 1 2 -1 2 4 3 -1 -2 6 = 1 (24+12) – 2(12-2) – 1(12+4) = 36 – 20 – 16 = 0 1 ( не подходит ) М3 = 2 1 2 -2 2 4 0 -1 -2 6 = -2 (-4+4) + 6 (4-4) = 0 ( не подходит ) М3 = 3 1 -1 -2 2 3 0 -1 6 6 = 0 ( не подходит ) М3 = 4 2 -1 -2 4 3 0 -2 6 6 = 0 ( не подходит ) Ответ: rang ( A ) = 2 Эти преобразования называются эквивалентными при этом ранг матрицы не изменяется употребляется знаки: ~; ⇔ ; ↔ умножение строки на ненулевое число перестановка двух строк прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число при транспонировании матрицы 1 2 3 4 Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца А = 3 3 3 2 2 2 х 3 1) Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку А = 3 3 3 2 2 ⇔ В = 1 2 3 2 3 2 3 2 2 6 6 3 2 2 = В = 6 6 3 2 2 Получили матрицу такую, что А В ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 1 2 х 3 Рассмотрим пример эквивалентных преобразований 2) Поменяем первую и вторую строки матрицы местами Пусть задана матраца В = 6 6 3 2 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2 В = 6 6 3 2 2 ⇔ С = 3 2 2 2 6 6 С = Получили матрицу такую, что В С ⇔ 3 2 2 2 6 6 эквивалентные преобразования 2 х 3 Пусть задана матраца С = 3 2 2 2 6 6 3) От первой строки матрицы отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу D 2 х 3 С = 3 2 2 2 6 6 ⇔ ⇔ D = 3-2 2-6 2-6 2 6 6 D = 1 -4 -4 2 6 6 = 1 -4 -4 2 6 6 Получили матрицу такую, что C D 2 х 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3 2 х 3 Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца D = 1 -4 -4 2 6 6 2 х 3 4) Проведём транспонирование матрицы D, получаем эквивалентную матрицу F D = 1 -4 -4 2 6 6 2 х 3 ⇔ F = 1 2 -4 6 -4 6 3 х 2 Вывод: Матрицы А F , так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками. ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 4 Эквивалентные преобразования Задание. Найти ранг матрицы 0 4 10 1 4 8 18 4 18 40 17 1 7 17 3 А = Решение. Шаг 1. Из третий строчки вычтем вторую, умножив её на число два ( преобразование 3) 0 4 10 1 4 8 18 4 18 40 17 1 7 17 3 0 4 10 1 4 8 18 4 10-4 2 18-8 2 40-18 2 17-7 2 1 7 17 3 0 4 10 1 4 8 18 4 2 2 4 3 1 7 17 3 ⇔ ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3 Метод элементарных преобразований Шаг 2. От второй строки отнимаем четвертую, умноженную на число четыре ( преобразование 3) 0 4 10 1 4 8 18 4 2 2 4 3 1 7 17 3 0 4 10 1 4-1 4 8-7 4 18-17 4 4-3 3 2 2 4 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 2 2 4 3 1 7 17 3 ⇔ ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3 Шаг 3. От третий строки отнимаем четвертую, умноженную на число два ( преобразование 3) 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 2 2 4 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 2-1 2 2-7 2 4-17 2 3-3 2 1 7 17 3 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 ⇔ ⇔ Шаг 4. К второй строки прибавим первую, умноженную на число тять ( преобразование 3) ⇔ 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 0 4 10 1 0-0 5 -20+4 5 -50+10 5 -5+1 5 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 ⇔ Шаг 5. К третий строки прибавим первую, умноженную на число три ( преобразование 3) 0 4 10 1 0 0 0 0 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0+0 3 -12+ 4 3 -30+10 3 -3+1 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 17 3 ⇔ ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3 Шаг 6. Меняем местами первую и вторую строчки.Далее четвертую и первую строки ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2 0 0 0 0 0 4 10 1 0 0 0 0 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 17 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⇔ ⇔ 4 х 4 С помощью элементарных преобразований над строками матрицу А привели к ступенчатому виду 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 х 4 1 7 17 3 0 4 10 1 2 х 4 rang (A) = 2 Ответ: rang (A) = 2 Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.