Исследовательская работа по математике на тему Золотое сечение

МОУ гимназия №11Проект на тему: «Золотое сечение» Выполнили: Ананьева Кристина и Камшилина НатальяРуководитель Малечкина Т.К. учитель математики I квалификационной категории «Великая книга природы написана математическими символами» Галилей«Никакое человеческое исследование не может быть названо истиной, если оно не проходит через математическое доказательство» Леонардо да Винчи «Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять миром». И. Гете Введение.Золотое сечение: в математике_______________ в медицине_______________ в растительном миреЗаключение. Цель исследования: приобрести новые знания по математике в области «Золотого сечения» и их применения в природе и медицине для расширения кругозора и более обоснованного самоопределения в выборе профессии. Задачи 1. Познакомиться с понятием золотого сечения. 2. Рассмотреть присутствие «золотых» пропорций в живой природе. 3. Выяснить, как используется золотое сечение человеком в медицине.4. Определить, как мне эти знания могут пригодиться в выборе моей будущей профессии. Гипотеза Изучив золотое сечение как один из основных, более общих законов мироздания, его роль в природе, практическое применение в медицине, мы сможем глубже познать окружающий мир, самого себя и самоопределиться с выбором жизненного пути. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в природе и, как следствие, в искусстве, науке, технике. Феномен золотого сечения известен человечеству очень давно. Его тайну пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). «Золотое сечение» в математике. Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе - с драгоценным камнем.Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое «золотое сечение» — далеко не все. Расскажем вам об этом «драгоценном камне». Что такое «золотое сечение»? Говорят, что точка C производит «золотое сечение» отрезка АВ, если АС : АВ = СВ : АС =1:1,618. (1)Итак, «золотое сечение» - это такое деление целогона две неравные части, при котором бόльшая часть так относится к целому, как меньшая к бόльшей.Если принять длину отрезка АВ за 100 единиц измерения, то длина отрезка АС будет равна примерно 62, а длина отрезка СВ - 38 единицам измерения. Геометрически «золотое сечение» отрезка АВ можно построить следующим образом: восстановить в точке В перпендикуляр к АВ (рис. 2) и на нем отложить BD = Ѕ АВ; далее, соединив точки А и D, отложить DE = BD, и наконец, AC=AE. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка AB. Рис.2 B A C Золотой треугольник. Золотым называется такой равнобедренный треугольник , основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении. AC:AB≈1:1,618≈0,62. L M K N Золотой прямоугольник Прямоугольник стороны которого находятся в золотом отношении т.е. отношение длины к ширине даёт число 0,62; называется золотым прямоугольником. KL:KN ≈1:1,618≈0,62. Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный звездчатый пятиугольник. (рис. 4).Можно вывести уже известную пропорцию:АС : АВ = СВ : АС≈1:1,618≈0,62.Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Рис4 Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. и т.д. 144 89 55 34 21 13 8 5 3 2 1 1 Пары кроликов и т.д. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Месяцы Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц - 1+1=2; на 4-й месяц - 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц - 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц - 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д. Из этой задачи последовало открытие некого ряда последовательности натуральных чисел каждый член, которой, начиная с третьего равен сумме двух предыдущих членов: Uk=1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...,Такая последовательность получила название Последовательность Фибоначчи, а её члены числами Фибоначчи. Отношение последующего члена ряда к предыдущему стремится к коэффициенту золотого сечения В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фиФ≈1.618 Леонардо да Винчи «Золотое сечение» в работах Леонардо да Винчи Переходя к примерам «золотого сечения» в живой природе и медицине, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Многие теоретики считают, что термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи ( конец 15 начало 16 вв.). Витрувианский человек. В сопроводительных записях Леонардо да Винчи указал, что рисунок был создан для изучения пропорций (мужского) человеческого тела, как оно описано в трактатах античного римского архитектора Витрувия (Vitruvius). Джоконда Портрет Монны Лизы (Джоконды), написанный Леонардо да Винчи, долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. «Золотое сечение» в медицине. Внимание, которого удостоилось золотое сечение, связано с тем, что оно постоянно присутствует в природе. А человек – венец творения природы. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются в отношении разных частей тела — роста, длины плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев, ширины плеч. Все отрезки для измерений тела образуют между собой соотношения золотого сечения. Рис.5 Геометрическое деление по принципу золотого сечения. Пусть рост человека измерен и соответствует длине отрезка АВ (рис. 5). Точка С - точка «золотого сечения» этого отрезка и АС < СВ. В этом случае С находится на линии талии. Каждую из полученных частей отрезка АВ опять разделим «золотым сечением». Пусть точка Е - точка «золотого сечения» отрезка АС и АЕ < ЕС, тогда Е окажется на высоте так называемого «адамова яблока» (приблизительно середина шеи). Точкой D разделим «золотым сечением» отрезок С В (CD > DB). D совпадает с центром коленных чашечек. Снова разделим отрезок АВ «золотым сечением», но таким образом, чтобы меньшая часть была внизу, т. е. АС` > С`В. Тогда горизонтальная прямая, проведенная через точку С`, пройдет через концы свободно свисающих рук. Рис.5 Рис.6 Рис.7 Каждая отдельная часть тела - голова, рука, кисть и т. д. - также делятся по закону «золотого сечения» на естественные части (см. рис. 5-7). Так, разделив в отношении «золотого сечения» отрезок, заключенный между макушкой и адамовым яблоком (рис. 4), мы получим точку, лежащую на линии бровей (В). При дальнейшем золотом делении образовавшихся частей получим последовательно кончик носа (С), конец подбородка (D). Строение руки и кисти также согласуется с принципом «золотого сечения» (рис. 6, 7). Схема принципа расчета золотой меры на теле человека если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618. расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618 расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618 расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618 расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618 расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618 расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618 расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618 Рука человека Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты. Высота лица / ширина лица, Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа. Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ Ширина рта / ширина носа, Ширина носа / расстояние между ноздрями, Расстояние между зрачками / расстояние между бровями. Все эти отношения равны числу Ф≈1.618 «Идеальная улыбка» если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.   Рис.8 Недавно наш современник, американский хирург Стивен Маркварт создал, используя принцип «золотого сечения», геометрическую маску, которая может служить эталоном прекрасного лица (рис. 8). Чтобы узнать, соответствует ли лицо идеалу, достаточно скопировать маску на прозрачную пленку и наложить ее на фотографию соответствующего размера. Человек, как и другие творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубже: строение клеток, хромосом и генов. Золотая пропорция в строении легких человека. Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618. интервал RR – полный сердечный цикл (Т)интервал QT – систола сердца (t1)сегмент ТР - диастола (t2)T=3,9 t1=1,5 t2=2,43,9:2,4≈1,625 2,4:1,5≈1,6 Ритмы сердца. В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции. На кардиограмме сердца выделяется два участка различной длительности, соответствующие систолической (t1) и диастолической (t2) деятельности сердца. В.Д. Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная ("золотая") частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла (T) соотносятся в пропорции золотого сечения, то есть T : t2 = t2 : t1≈1,618. Так например, для человека эта "золотая" частота равна 63 ударам сердца в минуту, для собак - 94, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя. Золотые пропорции в строении молекулы ДНК. Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой так же содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой составляет 34 ангстрема , ширина 21 ангстрем (1 ангстрем- одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34- цифры, следующие друг за другом в последовательности Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618. Рис.4 «Золотое сечение» в растительном мире. «Золотое сечение» встречается в растительном мире. Рассматривая расположение трех подряд идущих пар листьев на общем стебле растения (рис.4), можно заметить, что между первой и третьей парой вторая находится в месте «золотого сечения». На рисунке 4 изображен фрагмент растения. С помощью измерений можно убедиться, что золотая пропорция имеется. Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Рис. 1. ЦикорийОтросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. Рис. 1. Ящерица живородящаяИ в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Рис.2. Яйцо птицы В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Спираль Архимеда Заключение. Изучив более подробно «золотое сечение» и его проявления в живой природе, мы с уверенностью можем сказать, что полученные знания обязательно пригодятся нам в таких специальностях как хирургия, в том числе и пластическая, кардиология, стоматология, микробиология.Кроме того, эти вопросы выходят за рамки школьного курса, они способствуют совершенствованию и развитию важнейших математических умений.Таким образом, приобретенные знания о золотой пропорции, еще больше убедили нас в необходимости изучения математики как неотъемлемой части нашей будущей профессии. Литература 1.Энциклопедичкский словарь юного математика- М.: Педагогика,1989 г.2. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика.- М.: АСТ 1997 г.3. Депман, И.Я.Виленкин, За страницами учебника математики- М.: Просвещение,1989 г.4. Васютинский,Н.Н. Золотая пропорция.- М.: Молода гвардия, 1990 г.5. Газета «Математика», приложение к учебно-методическому пособию «Первое сентября».-М.: издательский дом «Первое сентября», 2007.6. Квант: научно-популярная физико-математическая энциклопедия. - М.: Бюро «Квантум».7. Информация из интернета. Спасибо за внимание !