Презентация по математике на тему Золотое сечение

Золотое сечение «…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…». Иоганн Кеплера Содержание История золотого сечения Определение золотого сеченияГеометрическое построение золотого сеченияАлгебраические свойства золотой пропорцииЗолотой прямоугольникПятиконечная звезда. Правильный десятиугольникЗолотой треугольникЗолотая спиральВторое Золотое сечениеЗолотая пропорция в додекаэдре и икосаэдреИкосаэдро-додекаэдровая структура ЗемлиЗолотые спирали и "пентагональная" симметрия в живой природеЗолотое сечение в живой природеЗолотое сечение в архитектуреЗолотое сечение в искусствеЗолотое сечение в фотографии VI век до н.э. считается, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математикIII век до н. э. впервые встречается в "Началах" ЕвклидаКонец 15 -нач.16 веков Леонардо да Винчи ввёл термин"ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ"1202 математический труд “Книга об абаке” Фибоначчи1509 в Венеции издана книга Луки Пачоли “Божественная пропорция” с иллюстрациями предположительно сделанными Леонардо да ВинчиЭпоха Возрождения широко применяется в науке, искусстве, архитектуре1855 немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд “Эстетические исследования”начало 1900-х американский математик Марк Барр (Mark Barr) использовал греческую букву Фи (phi) дляопределения золотой пропорции История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). История золотого сечения Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным История золотого сечения История золотого сечения В эпоху Итальянского Возрождения начинается возврат к античному научному наследию, в том числе и к Золотому Сечению и, естественно, что Леонардо да Винчи не мог пройти мимо этой замечательной пропорции. Именно с легкой руки Леонардо в науке начал широко использоваться сам термин "Золотое Сечение". Доказано, что Леонардо использовал "Золотые треугольники" при композиционном построении своей наиболее знаменитой картины "Мона Лиза" ("Джоконда") История золотого сечения В эпоху Возрождения происходит еще одно важное событие в теории "Золотого Сечения". Под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи его друг и научный советник, выдающийся итальянский математик Лука Пачиоли пишет первую книгу о "Золотом Сечении", которую он назвал "Divina Proportione" ("Божественная Пропорция"). Лука Пачиоли был монахом и глубоко верующим человеком. И особенность его книги состояла в том, что он рассматривал "Золотое Сечение" как пропорцию, присущую самому Богу (отсюда название "Божественная пропорция"). Именно поэтому книга Пачиоли особенно актуальна с точки зрения того огромного интеллектуального движения по сближению физической и религиозной картин мира, которое особенно активно развивается в последние годы в российской науке (см., например, книгу Ю.С. Владимирова "Фундаментальная физика, философия и религия", 1996). История золотого сечения В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. История золотого сечения Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Иоганн Кеплер, развивая идея Пифагора и Платона о предустановленной гармонии Мироздания, строит модель Солнечной системы с использованием Платоновых Тел. Эта модель стала исходной для широкого исследования Солнечной системы, что в конечном итоге и привело Кеплера к открытию его знаменитых астрономических законов. История золотого сечения С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Исходя из допущения, что кролики не умирают от болезней, и каждая пара, достигнув двухмесячного возраста, начинает приносить по паре крольчат ежемесячно, Фибоначчи выстроил числовой ряд, прославивший его имя. Каждый новый член числового ряда равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел стремится к отношению 0,618 или 1,618, в зависимости от того, вверх или вниз по шкале мы продвигаемся. Это отношение назвали золотым сечением. Однако наиболее сильный математический результат в области теории чисел Фибоначчи и Золотого Сечения был получен французским математиком 19-го века Бине, который вывел две замечательные формулы, связывающие числа Фибоначчи и Люка с Золотым Сечением. История золотого сечения В 19 в. вновь возрождается интерес к числам Фибоначчи и Золотому Сечению в математике. Французский математик Люка вводит само название "Числа Фибоначчи" и после него работы по числам Фибоначчи "стали размножаться как Фибоначчиевые кролики". Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия) — деление непрерывной величины на части в таком отношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как вся величина к большей. Например, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. |АВ| / |ВС| = |АС| / |АВ|).Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой ϕ (встречается также обозначение τ). Она равна:Формула «золотых гармоний», дающая пары чисел удовлетворяющие вышеупомянутой пропорции:В случае с числом параметр m = 1. Определение золотого сечения Геометрическое построение золотого сечения. Геометрическое построение золотого сечения Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из "Начал Евклида" известен следующий способ геометрического построения "золотого сечения" с использованием линейки и циркуля). Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = Ѕ. Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" cторона Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", посколькуили Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия "теоремы квадратов", золотой пропорции и, наконец, "несоизмеримых отрезков" - трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору. Алгебраические свойства золотой пропорции Из уравнения "золотой пропорции" непосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень t ("золотая пропорция") подставить вместо x в уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции":Еще одно удивительное свойство "золотой пропорции", основываясь на тождестве Если в правую часть вместо t подставить его значение, задаваемое тождеством, то мы придем к представлению t в виде следующей "многоэтажной" дроби:Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечное число раз, то в результате получим "многоэтажную" дробь с бесконечным количеством "этажей":Такая дробь в математике называется "непрерывной" или "цепной" дробью. Заметим, что теория "цепных" дробей является одной из важных частей современной математики. Еще одно "замечательное представление" золотой пропорции в "радикалах":(5) Простейший "золотой" прямоугольник, AB = t и BC = 1. Золотой прямоугольник "Золотым" прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть Пятиконечная звезда  «Золотая» чаша» Пятиконечная звезда. Пятиконечной звезде — около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья а также тайным опознавательном знаком. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты ее математического строения, была замечена еще Пифагором и с тех пор не устает радовать глаз художника и разум математика. Пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все "древние" средние. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой красоты ее внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище «пентаграмму», надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение.Пентаграмма на Рис.1 включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый «закон золотой чаши» ,который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть «пентаграммы» даёт схематическое представление «золотой» чаши. Звездчатый десятиугольник Правильный десятиугольник Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,— звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д. Если радиус исходной окружности R = 1 и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников. Заметим, что обнаруженное созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности. «Золотой» треугольник» К золотому треугольнику можно отнести и геометрию Великой египетской Пирамиды Великая египетская Пирамида. Золотой треугольник «Пятиугольная звезда», входящая в «пентаграмму», состоит из пяти равносторонних «золотых» треугольников, каждый из которых напоминает букву «А» («пять пересекающихся А») Каждый «золотой» треугольник имеет острый угол A = 36° при вершине и два острых угла D = C = 72° при основании треугольника. Основная особенность «золотого» треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра AC = AD к основанию DC равно золотой пропорции t. Исследуя «пентаграмму» и «золотой» треугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB «пентагона» и делит сторону AC в точке H золотым сечением. При этом возникает новый «золотой» треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке H’ и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность «золотых» треугольников. Как и в случае с «золотым» прямоугольником и «пентаграммой» бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры («золотого» треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии. Золотая спираль любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618. Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90 градусов, с коэффициентом 1.618, как показано на рис. Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической или изогональной спирали, не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки — все они образуют логарифмические спирали. Построение второго золотого сечения Деление прямоугольника линией второго золотого сечения Второе Золотое сечение Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредст­венно связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, то есть правиль­ные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр,то можно уви­деть, что в каждой его вершине сходятся пять треугольников, внешние стороны которых образуют Пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция игра­ет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел. Но существуют более глубокие математические подтвержде­ния фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три спе­цифические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через RL. Вторая, или средняя, сфера касается ее ребер. Обозна­чим радиус этой сферы через Rm. Наконец, третья (внешняя) сфе­ра описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозна­чим ее радиус через Rc В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеюще­го ребро единичной длины, выражается через золотую пропор­цию. Правильный додекаэдр Правильный икосаэдр Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре Заметим, что отношение радиусов одинаково как для икосаэдра, так и для додекаэдра. Таким обра­зом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Дока­зательство этого математического результата дано в «Началах» Евклида.В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. На­пример, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они вы­ражаются через золотую пропорцию Таким образом, существует огромное количество соотноше­ний, полученных еще античными математиками, подтверждаю­щих замечательный факт, что именно золотая пропорция явля­ется главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой додекаэдро-икосаэдрической доктрины, которую мы рассмотрим Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. Золотые спирали и "пентагональная" симметрия в живой природе Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. Спирали широко проявляют себя в живой природе. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне. Золотые спирали и "пентагональная" симметрия в живой природе Спиралевидную форму имеют большинство раковин. Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции.У некоторых моллюсков количество частей, формирующих конические раковины, отвечает числам Фибоначчи. Так, раковины фораминифер имеют 13 частей, раковины шпорцевой улитки - 8, количество камер раковины наутилуса - 34, тело наутилоидей делится на 13 частей, раковина гигантской тридакны собрана в 5 складок. Число ребер ископаемой раковины брахиопод равно 34. Такое же количество ребер имеют крохотные раковины тектакулитов. По краям пятнистой раковины ципреи из Индийского океана расположены мелкие зубцы, количество которых равно 21. Из приведенных примеров видно, что конструкции раковин многих ископаемых и современных моллюсков предпочитают числа 5, 8, 13, 21, 34. Золотые спирали и "пентагональная" симметрия в живой природе В живой природе широко распространены формы, основанные на "пентагональной" симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Пяти-лепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других. Ниже показано цветок китайской розы с ярко выраженной "пентагональной" симметрией. Золотое сечение в живой природе В процессе эволюции тело членистоногих разделилось на три отдела: головной, грудной и брюшной. Среди современных членистоногих можно назвать следующих характерных представителей: мечехвост, имеющий 5 пар конечностей, 5 пар шипов на брюшке, 5 сегментов на груди; лангуст, имеющий также 5 пар ног, 5 перьев на хвосте, каждая нога состоит из 5 частей, а брюшко из 5 сегментов. У скорпионов туловище состоит из двух частей - брюшка и хвоста. Они имеют 5 пар конечностей, на брюшке выделяются 8 сегментов, на хвосте - 5. Напомним, что 5 и 8 - числа Фибоначчи.Панцирь современных крабов состоит из 13 пластин, а панцирь древних крабов содержал 8 пластин.Тело насекомых также состоит из трех частей: головы, груди и брюшка. Грудь обычно состоит из трех сегментов, и к ней крепятся три пары ног и две пары крыльев. У некоторых насекомых брюшко состоит из трех сегментов, имеется 4 пары конечностей, состоящих из 8 частей, из ротового отверстия выходит 8 усикоподобных органов. Авокадо Груша Золотое сечение в живой природе Золотое сечение в архитектуре Древняя летопись гласит: "...царь и великий князь Иван Васильевич ... повеле поставити храм Покрова с пределы о Казанской победе, что бог покорил безсерманский род казанских татар царю...". Активные действия русских войск 1 октября 1552 года, в день церковного праздника Покрова, привели к падению Казани, покорению ее Москве. Увековечивает эту победу памятник - Покровский собор, сооруженный в 1555 - 1561 годах гениальными русскими зодчими Бармой и Постником. Архитектурный шедевр, Покровский собор, - неповторимый пример столпообразной шатровой каменной архитектуры на Руси. Его восемь башен, поставленных на высокий цокольный этаж, увенчаны фигурными многокрасочными главами, которые окружают девятую, центральную башню, завершенную высоким пирамидальным шатром. Впечатление воздушности и легкости достигается умелым сочетанием и разнообразием украшающих собор деталей - карнизов, нишек, кокошников, обрамления граней башен и окон. Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов. Собор "Нотредам де Пари" в Париже,  Франция. построен на принципах  Золотого сечения" Петровский дворец в Москве 1776-1796 гг. Золотое сечение в архитектуре План пола Парфенона "Золотое сечение" в конструкции Парфенона,  Афины, Греция Золотое сечение в архитектуре «…, но, быть может, ещё лучше было бы назвать такой собор «окаменелой математикой» Юнг Д Золотое сечение в архитектуре Пропорции Покровского Собора на Красной площади в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: Многие члены ряда золотого сечения повторяются в затейливых элементах храма многократно: Золотое сечение в искусстве Портрет Моны Лизы (Джоконда)  привлекает  тем, что  композиция рисунка  построена  на "золотых  треугольниках",  точнее на  треугольниках,  являющихся  кусками  правильного  звездчатого  пятиугольника. Зрачок левого  глаза, через  который проходит  вертикальная ось полотна,  находится на пересечении двух  биссектрис верхнего золотого  треугольника, которые с одной  стороны, делят пополам углы  при основании золотого  треугольника, а с другой  стороны, в точках пересечения  с ребрами золотого  треугольника делят их в  пропорции Золотого сечения. Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение Золотое сечение в искусстве Пропорции Золотого сечения в произведении Леонардо Да Винчи - «Тайной вечере» Соответствующие прямоугольники в картине - "золотые". Было так же определено, что больше всего внимания смотря на прямоугольный рисунок придается центральной части, образованной точками которые делят этот рисунок в золотой пропорции. Картина «Святое семейство» Микеланджело  признана одним из шедевров  западноевропейского искусства эпохи  Возрождения. Гармонический анализ показал,  что композиция картины основана на  пентакле. Рождение Венеры  Около острова Киферы  родилась Афродита, дочь  Урана, из белоснежной пены  морских волн. Легкий,  ласкающий ветерок принес ее  на остров Кипр. Где только не  ступала Афродита, там пышно  разрастались цветы. Весь  воздух полон был  благоуханием. Золотое сечение в искусстве Золотое сечение в искусстве На знаменитой картине Ивана Шишкина  «Корабельная роща» просматриваются  мотивы Золотого сечения. Ярко освещенная  солнцем сосна (стоящая на первом плане)  делит картину Золотым сечением по  горизонтали. Справа от сосны – освещенный солнцем  пригорок. Он  делит картину Золотым  сечением по вертикали. Слева от главной  сосны находится много сосен – можно  продолжить деление Золотым сечением по  горизонтали левой части картины.  Наличие в  картине ярких вертикалей и горизонталей,  делящих ее в отношении Золотого сечения,  придает ей характер уравновешенности и  спокойствия. Золотое сечение в искусстве Рафаэль"Избиение младенцев" На подготовительном эскизе  Рафаэля проведены красные  линии, идущие от смыслового  центра композиции - точки, где  пальцы воина сомкнулись  вокруг лодыжки ребенка, -  вдоль фигур ребенка,  женщины, прижимающей его к  себе, воина с занесенным мечом  и затем  вдоль фигур такой же  группы в правой части эскиза.  Если естественным образом  соединить эти куски кривой  пунктиром, то с очень большой  точностью получается золотая  спираль! Золотое сечение в искусстве . И. Суриков.   «Боярыня Морозова». Роли ее отведена средняя  часть картины. Она окована  точкой высшего взлёта и  точкой низшего спадания  сюжета картины.  1) Это — взлёт  руки  Морозовой с  двуперстным  крестным  знамением как  высшая точка.  2) Это — беспомощно  протянутая к той же боярыне  рука, но на этот раз — рука  старухи — нищей странницы,  рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней. А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни!Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному.В нём, и именно в нём, — величайшая сила Морозовой. Золотое сечение в искусстве Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя Дорифора, изваянная Поликтетом в V веке до н.э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечение. М=0,618…Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства - также построена на пропорциях золотого сечения. Построив золотой прямоугольник, проведем линию из верхнего левого угла в правый нижний, а затем линию по направлению к точке Y (из предыдущего рисунка) до пересечения с делящей на две части прямоугольник линией. Если скомпоновать кадр так, чтобы три разных объекта примерно располагались в этих секторах, то композиция будет выглядеть гармоничной. Другим примером использования правила "Золотого сечения" - расположение основных компонентов кадра в особых точках - зрительных центрах, Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Человек всегда акцентирует свое внимание на этих точках, независимо от формата кадра или картины. На основе золотого сечения существуют различные способы построения гармоничных композиций, в том числе и в фотографии. Золотое сечение в фотографии Перенесем нашего кота в точки "зрительных центров". Теперь условно поделим кадр на отрезки, в пропорции по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра. В местах пересечения отрезков и будут основные "зрительные центры", в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения Вот фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра. Вот так теперь выглядит композиция.