Элементы математической логики. Основные логические элементы.

Тема 4. Логические основы построения ЭВМ. Занятие 1. Элементы математической логики. Основные логические элементы. Понятие – форма мышления фиксирующая основные, существенные признаки объекта.Высказывание – это форма мышления, в которой что – либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.Высказывание может быть истинным или ложным.Умозаключение – форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (вывод). Формы мышления Понятие Суждение(высказывание) Умозаключение I. Общие сведения о науке «Логика» Логика – это наука о формах и способах мышления. Математическая логика является одной из частей формальной логики.Математическая логика рассматривает только рассуждения со строго определенными объектами и суждениями, для которых возможно однозначно решить истинны (да, 1) они или ложны (нет, 0).Основы математической логики положил английский математик Джон Буль, опубликовав в 1854 году книгу «Законы мышления», в которой подробно изложил алгебру логических действий над двоичными числами (Булева алгебра).Алгебра логики нашла широкое применение в современной компьютерной технике.Суждения и утверждения в математической логике называются высказываниями и предикатами.Высказывания это конкретные частные утверждения на которые можно истинны они (Да) или ложны (Нет).2 + 2 = 4 – истинно (да)2 * 2 = 5 – ложно (нет) Предикаты это утверждения истинность которых зависит от значений входящих в них величин X + Y > 0 В алгебре логики рассматриваются логические операции Логическое отрицание «Инверсия»Логическое сложение «Дизъюнкция»Логическое умножение «Конъюнкция»Логическое следование «Импликация»Логическое соответствие «Эквивалентность» Да Нет Нет Да Не А А Отрицанием утверждения А «культурный человек» будет утверждение не А «не культурный человек»Если утверждение А истинно (Да), то утверждение не А ложно (нет) Логическое отрицание «Инверсия»Добавление к высказыванию связки «Не» отрицает это высказывание и называется «инверсией»Инверсия обозначается: не А, ¬ А, А Логические операции в математической логике определяются таблицами истинности 0 Z Х Логическое отрицание «НЕ» «Инверсия» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х) Z = не ХВ таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 0 Z Х Логическое отрицание «НЕ» «Инверсия» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х) Z = не ХВ таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 1 0 Z Х Логическое отрицание «НЕ» «Инверсия» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х) Z = не ХВ таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 0 1 1 0 Z Х Логическое отрицание «НЕ» «Инверсия» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х) Z = не ХВ таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 0 1 1 0 Z Х Логическое отрицание «НЕ» «Инверсия» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х) Z = не ХВ таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» Инверсия -это логическая функция от одной переменной, которая принимает единичное значение при нулевом значении переменной и наоборот. 0 1 1 0 Z Х Единичный сигнал на выходе элемента НЕ появляется при нулевом сигнале на входе (х=0, Z=1) и наоборот, нулевой сигнал на выходе появляется при единичном на входе (х=1, Z=0). Логическое отрицание «НЕ» «Инверсия» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х) Z = не ХВ таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» Высказывание: Богатый человек имеет много рублей «А» или много долларов «В» («А или В») истинно: - если человек имеет много рублей т. е. «А» - «Да», а «В» - «Нет»;- если человек имеет много долларов т. е. «В» - «Да», а «А» - «Нет» ;- если человек имеет много рублей и долларов т. е. «А» - «Да», и «В» - «Да» Да Да Да Да Нет Да Да Да Нет Нет Нет Нет А или В В А Логическое сложение «Дизъюнкция»Соединение двух или нескольких высказываний союзом или называют логическим сложением «Дизъюнкцией»Дизъюнкция обозначается: А или В, А v В, А + В Дизъюнкция в математической логике определяются таблицей истинности 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Дизъюнкция -это логическая функция по крайней мере от двух переменных, принимающая единичное значение, когда хотя бы одна из переменных принимает единичное значение. Логическое сложение «или» «Дизъюнкция» в радиоэлектроникезадается функцией Z =f(Х,У) Z = Х v Ув таблице истинности записывается вместо «Да» – «1», вместо «Нет» - «0» 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Единичный сигнал на выходе этого элемента возникает тогда, хотя бы на один из входов подан единичный сигнал. Элемент ИЛИ реализует функцию логического сложения. Логическое элемент «Дизъюнктор» (элемент «ИЛИ») 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 0 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 0 1 1 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Z Y Х Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Z Y Х Конъюнкция - это логическая функция по крайней мере от двух переменных, которая принимает единичное значение при единичных значениях всех переменных. Логическое умножение «И» «Конъюнкция» Z=XиY, Z=XY, Z=XY 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 Z Y Х Единичный сигнал на выходе этого элемента возникает тогда, и только тогда, когда на все входы поступают единичные сигналы. Элемент И реализует функцию логического умножения. Логическое элемент «Конъюнктор» (элемент «И») 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 1 0 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 1 0 1 0 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 Z P Y X Одноразрядный двоичный сумматор Многоразрядный двоичный сумматор 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 Zn Pn Pn-1 Yn Xn Таблица истинности одноразрядного двоичного сумматора